Возведение в комплексное число естественным образом разбивается на возведение в вещественное число (реальная часть комплексного числа) и возведение на мнимую часть. Поэтому требуется рассмотреть только возведение в мнимое число.
Рассматривать, как всегда, будем возведение вещественного числа в степень, хотя, выбрав мнимую степень, мы и вышли из области вещественных чисел.
Чтобы понять, как возвести вещественное число в мнимое рассмотрим формулу Эйлера:
Есть какие-то модификации этой формулы, но нам потребуется именно эта.
Собственно, на этом вопрос можно было бы и закрыть, но согласно предыдущим исследованиям возведения в степень во избежания парадоксов необходимо, прежде чем возводить в мнимое число, перейти в тригонометрическую область:
Чётность n зависит от того, положительное или отрицательное у нас число.
(B) не равно B, под B в записи подразумевается положительное число, т.е. модуль. А вот (B) - это исходное число, которое может быть как положительным, так и отрицательным.
Для нашей формулы получаем:
Здесь получено произведение комплексного числа на вещественное в какой-то степени. Решений, как видим, множество. Второй множитель, скорее всего имеет множество комплексных решений.
По поводу общего решения этой задачи, то, представленное решение не полное, его можно расширить следующим образом:
Видим, что решение стало зависеть от большего количества свободных переменных. В дальнейшем, при получении окончательного ответа, это решение можно сузить на нужную область.
Вспоминая тригонометрические формулы, можем, также записать:
Видим, что если так получится, что
то получим вещественное число в вещественной степени.
В целом получилось число вида (требует доказательства):
Это множество более широкое, чем множество тригонометрических чисел.
Мы видели, что для того, чтобы избежать противоречий при возведении в вещественную степень, необходимо было минуя комплексные числа, перейти к тригонометрической записи. Теперь получилось, что при возведении в комплексную степень, тригонометрических чисел оказывается недостаточно и требуется следующее расширение.