Пущинские математики описали пространственно временные закономерности диффузно связанных замкнутых моделей численности популяции

Ученые из Института теоретической и экспериментальной биофизики РАН и Математических проблем биологии РАН изучили динамику пространственных структур, возникающих в замкнутой цепочке локально связанных осцилляторов. Ученые впервые показали, как зависит структура системы от диффузии между локальными осцилляторами, и представили четкие границы между регулярными и нерегулярными параметрами (поведением). Представленная закономерность может найти применение при создании и исследовании моделей различных процессов в реальных многокомпонентных системах, таких как динамика различных популяций, работа компьютерных сетей и др. Результаты работы опубликованы в журнале Mathematics.

Математические модели показали высокую эффективность при исследовании закономерностей функционирования сложных систем. Однако, динамика реальных, а не модельных популяций характеризуется не только изменением их свойств (численность, биомасса, скорость роста) во времени, но и вариациями этих свойств в пространстве. Стохастические осцилляторы – это вероятностные системы (модели), которые в зависимости от параметров могут быть регулярными, или не регулярными. Таким образом, анализ осцилляторов может дать представление о структуре экологических систем. В последнее время появился ряд исследований, описывающих поведение пространственно-временных моделей с разными типами связи (разная глубина связи, связь с задержкой) и предпринимаются попытки найти универсальные закономерности возникновения пространственных эффектов в цепочке диффузно связанных осцилляторов.

Математики из Пущино проанализировали пространственно-временные процессы в таком типе осцилляторов по широкому диапазону параметров. Результаты работы прокомментировал ведущий научный сотрудник Лаборатории биофизики возбудимых сред ИТЭБ РАН, кандидат физико-математических наук Алексей Русаков: «В представленной работе исследована динамика в замкнутой цепочке связанных диффузией осцилляторов. В качестве осцилляторов были выбраны широко используемые в экологическом моделировании концептуальные модели: логистическое отображение (отображение Фейгенбаума), отображение Гомперца и отображение Мея. Для решения поставленной задачи использовались параллельные вычислительные алгоритмы, реализованные на вычислительном кластере. Динамика в цепочке связанных осцилляторов оценивалась с помощью алгоритма вычисления энтропии Шэннона с нормировкой. Исследования проводились в широком диапазоне параметров: параметра, отвечающего за динамику точечного осциллятора, параметра, отвечающего за величину обмена между соседними осцилляторами, параметра, характеризующего длину цепочки осцилляторов. Для каждого случая оценивалась общая для всей цепочки динамика, а также пространственные структуры, т.е. распределение значений в каждом осцилляторе вдоль всей цепочки осцилляторов.

Для каждой точки параметрического пространства вычисления проводились для набора случайных начальных условий для осцилляторов в цепочке. Таким образом средняя величина нормированной энтропии Шэннона по времени характеризовала динамику цепочки связанных осцилляторов, средняя величина энтропии по пространству характеризовала регулярность/нерегулярность пространственных структур, отношение числа начальных условий с значением энтропии меньше пороговой к общему числу начальных условий характеризовала вероятность возникновения низкоэнтропийных структур.

Было показано, что для всех трех используемых отображений (логистического, Гомперца и Мэя) в широком диапазоне параметров тип динамики носит вероятностный характер, т.е. зависит от начальных условий, в то время как для точечных моделей тип динамики однозначно определен набором параметров и не зависит от начального значения. Также, для каждой модели, показаны области в пространстве параметров для которой регулярны как динамика, так и пространственные структуры. Эти области характеризуется тем, что при тех же значениях параметра, отвечающего за динамику в точечной модели (в каждом осцилляторе в отсутствие обмена) динамика в точечной модели демонстрирует хаос».

Источник: Rusakov, A.V.; Tikhonov, D.A.; Nurieva, N.I.; Medvinsky, A.B. Emergent Spatial–Temporal Patterns in a Ring of Locally Coupled Population Oscillators. Mathematics. 2023, 11, 4970. https://doi.org/10.3390/math11244970