Мне довольно часто приходится сталкиваться со счётом "туда и обратно". Не важно, что именно я считаю, главное здесь – сам алгоритм. Вот сначала появляется несколько пунктов, которые я нумерую: 1, 2, 3, 4, ..., n, при этом n почти никогда не бывает больше 20. А затем я прибавляю к концу этой нумерации ещё один пункт, который остаётся безымянным. И самое главное: для проверки правильности нумерации пунктов я произвожу счёт обратно (просто потому, что это удобно), при этом последний безымянный пункт становится первым, а первый – последним.
И здесь у меня возник вопрос: возможна ли такая ситуация, в которой один или несколько пунктов остаются одинаковыми как при прямом счёте, так и при обратном? А следом появился и второй вопрос: возможны ли ситуации, когда при прямом и обратном счёте в нумерации одного или нескольких пунктов имеются одинаковые цифры?
Ответ, как обычно, вы узнаете ниже.
Чтобы ответить на первый вопрос, нужно просто проследить, как происходит счёт "туда и обратно" при разном количестве пунктов.
1 - 2
2 - 1
1 - 2 - 3
3 - 2 - 1
1 - 2 - 3 - 4
4 - 3 - 2 - 1
1 - 2 - 3 - 4 - 5
5 - 4 - 3 - 2 - 1
Дальше можно не продолжать, так как суть ясна: если имеется ряд из нечётного количества пунктов, то занимающий центральное положение пункт сохраняет свою нумерацию как при прямом счёте, так и при обратном. В рядах из чётного количества пунктов такая ситуация невозможна. Вы можете убедиться в этом сами, попробовав ряды различной длины.
Чтобы ответить на второй вопрос, нужно посмотреть на более длинные ряды. Ведь речь идёт именно о цифрах, при этом нумерация пунктов при прямом и обратном счёте будет разной. Впервые с такой ситуацией мы сталкиваемся в ряду из десяти пунктов:
1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10
10-9 - 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1
Как видно – здесь при прямом и обратном счёте первый и последний пункты имеют в нумерации цифру 1. И такая ситуация будет наблюдаться в тех рядах, нумерация последнего пункта которых имеет цифру 1: от 11 до 19, 21, 31, 41 и т.д., затем от 100 до 199, 201, от 211 до 219, 221, 231... В общем, вы поняли, и легко продолжите сами хоть до бесконечности.
Однако в какой-то момент появляются и промежуточные пункты с одинаковыми цифрами. Первый такой ряд состоит из 13 пунктов:
1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12 - 13
13-12 -11- 10-9 - 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1
Как видите, здесь уже повторяется цифра 2 во втором и предпоследнем пунктах. И если проследить дальше, то в ряду из 15 пунктов будет повторяться цифра 3 в третьем с начала и в третьем с конца пунктах. В ряду из 17 пунктов будет повторяться цифра 4 в четвёртом с начала и в четвёртом с конца пунктах. И т.д.
При увеличении длины ряда появляется всё больше пунктов с цифрами, повторяющимися при прямом и обратном счёте. И даже можно было бы вывести формулу для поиска таких пунктов, но едва ли это имеет практическое применение. Да и это уже выходит за рамки занимательной задачи.