Постановка задачи:Нам дано уравнение:
3sin(x) + 4cos(x) = 5
Требуется найти все значения x, удовлетворяющие этому уравнению.
Решение:
Такие уравнения, где синус и косинус входят в линейную комбинацию, часто решаются методом введения вспомогательного угла.
Шаг 1: Введение вспомогательного угла
Рассмотрим выражение слева:
3sin(x) + 4cos(x)
Мы хотим представить его в виде:
A*sin(x + φ)
где A и φ - некоторые константы.
Разложим A*sin(x + φ) по формуле синуса суммы:
A*sin(x + φ) = A*sin(x)*cos(φ) + A*cos(x)*sin(φ)
Сравнивая коэффициенты при sin(x) и cos(x) в исходном уравнении и полученном выражении, получаем систему уравнений:
A*cos(φ) = 3
A*sin(φ) = 4
Решая эту систему, например, возводя оба уравнения в квадрат и складывая, находим:
A^2 = 3^2 + 4^2 = 25
Отсюда A = 5 (так как A > 0).
Далее, из системы уравнений находим угол φ:
cos(φ) = 3/5
sin(φ) = 4/5
Отсюда φ = arctan(4/3).
Таким образом, исходное уравнение можно переписать как:
5*sin(x + arctan(4/3)) = 5
Шаг 2: Решение полученного уравнения
sin(x + arctan(4/3)) = 1
Это уравнение имеет решение, когда аргумент синуса равен π/2 + 2πk, где k - любое целое число.
x + arctan(4/3) = π/2 + 2πk
Откуда:
x = π/2 - arctan(4/3) + 2πk
Ответ:Множество решений уравнения имеет вид:
x = π/2 - arctan(4/3) + 2πk, где k ∈ Z.
Примечание:
- Значение arctan(4/3) можно найти с помощью калькулятора.
- Решение представляет собой бесконечное множество значений x, которые получаются при различных значениях целого числа k.
Геометрическая интерпретация:Решение данного уравнения соответствует нахождению всех точек на единичной окружности, для которых сумма проекций радиус-вектора на оси Ox и Oy, умноженных соответственно на 3 и 4, равна 5.
Дополнительные замечания:
- Этот метод решения широко используется при решении тригонометрических уравнений, где синус и косинус входят в линейную комбинацию.
- Подобные уравнения могут иметь различные количества решений или вообще не иметь решений в зависимости от конкретных коэффициентов.