Добрый день, ребята!
Это статья, вводная статья, направленная на попытку понимания смысла использования графиков при изучении физики.
Я знаю, что графики Вас уже достали на уроках математики, но по моему опыту, многие ребята не понимают, «что такое график и с чем его едят»!
Давайте вместе попробуем разобраться…
Базовые понятия
Итак, для начала глянем в Википедию, и первое определение, то что искали:
График функции — множество точек, у которых абсциссы являются допустимыми значениями аргумента x, а ординаты — соответствующими значениями функции y.
Так, много умных слов… Забыли…
Пойдем по порядку.
Во-первых, после слова «график» - «функция». Что это за зверь?
В той же Википедии,
функция — соответствие между двумя множествами, при котором каждому элементу одного множества соответствует единственный элемент другого.
Как это можно объяснить простыми словами: это когда одно жестко зависит от другого. В жизни нас окружают очень много функций, но мы их не воспринимаем как функции, чаще мы это понимаем, как «причина – следствие». Но в жизни всё очень сложно, и математики придумали удивительный инструмент – числа!
Числа не несут никакой смысловой нагрузки – это просто числа. В науке это называется «формализация». Проще говоря, убираем лишние сущности!
Мы можем просто считать числа, без всякого контекста: 2 + 2 = 4. Чего два? Чего четыре? Да ничего! Просто числа.
А можем использовать числа для своих нужд, например, подсчитать количество предметов, передать это значение другому человеку, и он будет знать, о чем мы говорим, не пересчитывая предметы. Это и называется – формализовать задачу, т.е. перейти на язык математики. Для передачи этой информации мы воспользовались «множеством» натуральных чисел – еще одно словечко в определениях и графика и функции.
Вам знакомы несколько разных множеств чисел: целые, положительные, дробные, рациональные и т.п. Это всё множества чисел. И это всё просто числа - не надо им придавать какое-то особое значения. Просто числа!
Способы визуализации множеств
Так, теперь как с ними работать? Математики придумали два способа:
1. Символьное обозначение.
Числа записываются в виде последовательности цифр и специальных знаков. Увидев число, Вы четко понимаете, что это за число. Вы умеете их сравнивать, сортировать, производить над ними арифметические действия и т.п.
1, 2, 45230, 1.5, 1/2, ...
Но взглянув на большой массив чисел Вы начинаете пугаться: «Что с этим делать?» Для того, чтобы наш мозг обработал большой массив символьной информации нужно много времени и умственных затрат.
Поэтому придуман второй способ.
2. Графический.
Математики придумали выстраивать числа в виде точек вдоль луча – числовой оси. Чем дальше число (в виде точки на этом луче) находится от начала луча, тем больше это число. И расстояния от начала луча до точки (числа) показывает во сколько раз эти числа отличаются друг от друга.
Вот так, например, выглядит числовая ось натуральных чисел до 10:
Графический способ позволяет СРАЗУ увидеть все числа. Наш мозг воспринимает их почти мгновенно. Дело в том, что графические образы лучше воспринимаются нами, чем символы. (Символы, это тоже графические образы, с привязанными к ним сущностями: звуками, смыслами. Но для их обработки нашему мозгу нужно больше времени.)
Глядя на рисунок, мы начинаем задавать вопросы: «А что между точками?».
Математики говорят: «А там другие числа – дробные. И дробные бывают разные, а еще есть рациональные, иррациональные…» И вот если взять все числа какие есть, математики их называют вещественные, то мы получим непрерывный луч, с бесконечным количеством чисел, изображенных как точки.
Кстати, в обратную сторону идут отрицательные числа.
А сверху и снизу над числовой осью находятся комплексные числа, но это уже совсем другая история….
Таким образом, увидев числовую ось, математики видят бесконечное множество вещественных чисел. И Вы должны научится видеть числа! Вот мы стали чуть лучше понимать математиков!
Как изобразить связь множеств?
Давайте пойдем дальше. Нам нужно разобраться с функциями.
Функция – это связь одного множества с другим, где одному числу одного множества строго соответствует число из другого множества.
Как это показать? Если использовать первый, символьный способ, то здесь поможет таблица, например, такая:
Видно, что любому числу из «Множества 1» соответствует одно число из «Множества 2»
В чем недостаток такого способа?
- Много символов.
- Не все числа участвуют.
- Трудно сразу определить закономерности этой связи.
Второй, графический способ, более информативен.
Математики предложили такой интересный приёмчик: давайте расположим два множества чисел на двух разных числовых осях, но оси будут перпендикулярны друг другу. Эти оси получили название «Осей координат». Та, что лежит горизонтально, в нашей таблице «Множество 1» и от точек этого множества ищется зависимость, получила название «Ось абсцисс». Вторая ось, вертикальная, в которой ищется зависимость – «Ось ординат». Сама система получила название «Прямоугольная Декартовая система координат». Придумана была в XVII веке, приблизительно в тоже время что и понятие «функция».
Сами по себе эти множества не зависимы, единственное – начинаются из одной и той же точки.
А связь между множествами показывает другое множество точек, но расположено оно на плоскости, и каждая точка имеет две координаты: из первого и второго множеств. Таким образом, это третье множество точек изображает нам связь между «Множеством 1» и «Множеством 2».
И вот прелесть графического способа: мы сразу замечаем, что зависимость линейная. Но есть и проблемы: трудно быстро установить конкретную числовую связь чисел во множествах. Идеальных методов не бывает. Используют тот, которых хорош для текущей задачи.
Давайте сделаем ещё одно изменения: соединим все точки связи!
И вот перед нами непрерывное множество точек, изображающих связь непрерывного «Множества 1» и непрерывным «Множеством 2», т.е. график этой связи.
Как записать функцию
Но для математиков в графике есть проблема: не все числа множеств изображены на графике! Как быть с остальными? И вот тут на помощь приходит математика с её изобретением – алгебраическая запись функции.
Законы алгебры позволяют нам найти математическую зависимость двух множеств. Для тех, кто знаком с математическими приёмами не составит труда записать эту зависимость. Я не буду сейчас это объяснять, но эта зависимость описывается в виде следующей функции:
y = 1,4x + 0,5
Вот это алгебраическая запись связи двух рассматриваемых нами множеств.
В общем виде математики это записывают как y = f(x). Читается: «у есть функция от x».
Благодаря умению считать Вы с легкостью найдете любое число из «Множества 2» (в функции это значение «y») подставив число из «Множества 1» вместо аргумента функции «x».
Например, 0,92 = 1,4 * 0,3 + 0,5
Вот ты теперь понимаешь смысл еще двух математических понятий: «значение» и «аргумент» функции.
Объединив оба метода, алгебраическая запись функции и графическое изображение в виде графика функции, мы получаем удобный инструментарий для описания зависимости двух множеств между собой.
Зачем это надо математикам? Им просто интересно изучать мир! Оказывается, весь мир вокруг нас подчиняется строгим законам математики, просто большинство людей этого не замечают. А математики это ВИДЯТ!
И как это работает в физике?
Но вернемся «к нашим баранам». В заголовке шла речь о ФИЗИКЕ!
Все очень просто. Физики изучают мир через призму «физических явлений». В физических явлениях участвуют «физические тела». У каждого физического тела есть ряд свойств, которые можно измерить – их называют «физические величины». Следовательно, развитие физического явления есть изменение физических величин у физических тел.
Так! Рассмотрим это на примере: Вы вышли погулять. Вы – физическое тело. Ваше перемещение в пространстве – физическое явление. В качестве измеряемой физической величины выберем расстояние от вас до вашего дома.
Для описания Вашей прогулки информация, что Вы находились в 1050 м от дома, не несет никакой информации. Важно: когда вы там были! И вот на сцену выходит странная физическая величина – время! Что такое время, я не смогу Вам объяснить. Это тема жарких научных споров. Но мы можем измерять время! И вот у нас появляются два множества физических величин: множество конкретных мгновений времени и расстояние от вас до дома. Описывать мы их можем конкретными числовыми значениями. И вот мы уже в объятьях математики!
Расстояние обозначим за X. Время за t.
Теперь, что от чего зависит? Для связи это не принципиально, но мы понимаем, что время течёт вне нашего участия в нем, давайте его сделаем первичным, т.е. Вы были на конкретном расстояние до дома в конкретный момент времени. Таким образом X = f(t) – расстояние есть функция от времени.
Перейдем к графическому изображению этой зависимости – графику расстояния от времени:
На оси абсцисс отложим промежутки времени. На оси ординат – расстояние от Вас до дома. И постоим график, отображающий, на каком расстоянии от дома Вы находились в каждый конкретный момент времени. Время течет непрерывно, следовательно, график тоже будет непрерывной линией. Почему так? Потому, что Вы не можете переместится из одной точки пространства в другую мгновенно! Это называется «телепортация», а она в классической механике запрещена!
И вот они, чудеса графиков! По графику сразу видно, что Вы отдалялись от дома в течении 20 мин. Отдалились на максимальное расстояние 800 м. Потом Ваше расстояние от дома не менялось в течении 10 мин. Невозможно утверждать, что вы стояли на месте эти 10 мин. Может стояли, а может двигались по окружности вокруг Вашего дома, не меняя расстояние до него. Но точно известно, что расстояние не менялось. А после, Вы за 30 мин дошли до дома. Ваша прогулка длилась 1 час.
Я это объяснял больше 20 секунд, а Вы это поняли за несколько секунд, просто взглянув на график. Вот почему физики так любят графики: на них всё видно сразу! Но это только, если умеешь их читать.
А об этом мы поговорим во второй части…
Продолжение следует…
