Чтобы решить задачу линейного программирования, необходимо:
- Сформулировать задачу:Целевая функция: Что мы хотим максимизировать или минимизировать? Записываем ее в виде линейной функции от переменных.
Ограничения: Какие условия должны выполняться? Записываем их в виде системы линейных неравенств или уравнений.
Неотрицательность переменных: Обычно переменные в задачах линейного программирования неотрицательны (x ≥ 0, y ≥ 0 и т.д.). - Построить графическую модель:На плоскости (или в пространстве для задач с большим количеством переменных) изображаем ограничения в виде прямых или плоскостей.
Определяем область допустимых решений (ОДР) – часть плоскости, удовлетворяющую всем ограничениям. - Найти оптимальное решение:Целевая функция представляет собой семейство параллельных прямых. Двигая эту прямую в направлении оптимизации (максимизации или минимизации), находим точку ОДР, в которой целевая функция принимает экстремальное значение.
Пример:
- Задача:Максимизировать функцию Z = 3x + 2y при ограничениях:x + y ≤ 5
x ≥ 0
y ≥ 0 - Решение:Построим график. ОДР – треугольник с вершинами в точках (0, 0), (5, 0) и (0, 5).
Проведем несколько линий уровня целевой функции (прямые вида 3x + 2y = C, где C – константа). Видим, что максимальное значение Z достигается в точке (5, 0).
Ответ: Максимальное значение целевой функции Z = 15 достигается при x = 5, y = 0.
Методы решения:
- Графический метод: Подходит для задач с двумя переменными.
- Симплекс-метод: Алгоритмический метод, позволяющий решать задачи с большим числом переменных.
- Методы внутренней точки: Еще один класс методов для решения задач линейного программирования.
Важно:
- Проверка на совместимость ограничений: ОДР не должна быть пустым множеством.
- Ограниченность ОДР: Если ОДР ограничена, то оптимальное решение всегда существует.
- Вырожденные случаи: В некоторых случаях может быть несколько оптимальных решений или оптимальное решение может быть достигнуто на границе ОДР.