Давай разберёмся с логарифмами и их использованием в решении уравнений. Начнём с основ.
Что такое логарифм?
Логарифм числа 𝑏 по основанию 𝑎 — это такое число 𝑐, что 𝑎 в степени 𝑐 равно 𝑏. Обозначается это так:
log𝑎(𝑏)=𝑐
Это означает:
𝑎^𝑐=𝑏
Пример 1. Основное определение логарифма
Рассмотрим пример:
log2(8)=3
Это означает, что 2 в степени 3 равно 8:
2^3=8
Основные свойства логарифмов
1. Логарифм произведения:
log𝑎(𝑥𝑦)=log𝑎(𝑥)+log𝑎(𝑦)
2. Логарифм частного:
log𝑎(𝑥/𝑦)=log𝑎(𝑥)−log𝑎(𝑦)
3. Логарифм степени:
log𝑎(𝑥^𝑘)=𝑘log𝑎(𝑥)
4. Переход к новому основанию:
log𝑎(𝑏)=log𝑐(𝑏)/log𝑐(𝑎)
Пример 2. Решение уравнения с логарифмами
Рассмотрим уравнение:
log2(𝑥−1)=3
Чтобы решить это уравнение, нужно вспомнить определение логарифма. Это уравнение означает:
2^3=𝑥−1
Теперь решим это уравнение:
8=𝑥−1
𝑥=9
Пример 3. Уравнение с логарифмами в ОГЭ
Рассмотрим более сложное уравнение:
log3(𝑥+1)+log3(𝑥−1)=2
Используем свойство логарифмов, что сумма логарифмов равна логарифму произведения:
log3((𝑥+1)(𝑥−1))=2
Теперь упростим выражение внутри логарифма:
log3(𝑥^2−1)=2
Снова используем определение логарифма:
3^2=𝑥^2−1
9=𝑥^2−1
𝑥^2=10
𝑥=±√10
Поскольку логарифм определён только для положительных чисел, 𝑥 должен быть больше 1 (так как 𝑥−1 должно быть положительным). Поэтому:
𝑥=√10
Пример 4. Уравнение с логарифмами и разными основаниями
Рассмотрим уравнение:
log2(𝑥)=log3(9)
Сначала упростим правую часть уравнения:
log3(9)=log3(3^2)=2log3(3)=2
Теперь у нас есть:
log2(𝑥)=2
Используем определение логарифма:
2^2=𝑥
𝑥=4
Логарифмы — это мощный инструмент для решения уравнений, особенно когда нужно работать с экспоненциальными выражениями. Важно помнить основные свойства логарифмов и уметь применять их для упрощения и решения уравнений. Надеюсь, эти примеры помогли тебе лучше понять, как работать с логарифмами!