Давайте разберем, как решать задачи на нахождение общего члена арифметической и геометрической прогрессий. Начнем с арифметической прогрессии.
Арифметическая прогрессия
Определение. Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается добавлением к предыдущему некоторого постоянного числа 𝑑 (разность прогрессии).
Формула общего члена арифметической прогрессии:
𝑎𝑛=𝑎1+(𝑛−1)⋅𝑑
где:
𝑎𝑛 — 𝑛-й член прогрессии,
𝑎1 — первый член прогрессии,
𝑑 — разность прогрессии,
𝑛 — номер члена прогрессии.
Пример задачи:
Найдите 10-й член арифметической прогрессии, если первый член равен 3, а разность прогрессии равна 5.
Решение:
1. Запишем известные данные:
𝑎1=3
𝑑=5
𝑛=10
2. Подставим эти значения в формулу общего члена:
𝑎10=𝑎1+(10−1)⋅𝑑
𝑎10=3+9⋅5
𝑎10=3+45
𝑎10=48
Ответ: 10-й член прогрессии равен 48.
Геометрическая прогрессия
Определение. Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на некоторое постоянное число 𝑞 (знаменатель прогрессии).
Формула общего члена геометрической прогрессии:
𝑏𝑛=𝑏1⋅𝑞^(𝑛−1)
где:
𝑏𝑛 — 𝑛-й член прогрессии,
𝑏1 — первый член прогрессии,
𝑞 — знаменатель прогрессии,
𝑛 — номер члена прогрессии.
Пример задачи:
Найдите 6-й член геометрической прогрессии, если первый член равен 2, а знаменатель прогрессии равен 3.
Решение:
1. Запишем известные данные:
𝑏1=2
𝑞=3
𝑛=6
2. Подставим эти значения в формулу общего члена:
𝑏6=𝑏1⋅𝑞^(6−1)
𝑏6=2⋅3^5
𝑏6=2⋅243
𝑏6=486
Ответ: 6-й член прогрессии равен 486.
Для решения задач на нахождение общего члена прогрессии важно:
1. Определить тип прогрессии (арифметическая или геометрическая).
2. Записать известные данные (первый член, разность или знаменатель, номер члена).
3. Подставить данные в соответствующую формулу.
4. Выполнить вычисления.
Если у вас есть конкретные задачи, которые нужно решить, или дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!