Новое уравнение для квантовых вихрей

Квантовые вихри представляют собой фундаментальные структуры в квантовой механике, которые играют ключевую роль в понимании сверхтекучести и других квантовых явлений. Предположим, что мы хотим учитывать дополнительные эффекты, такие как взаимодействие квантовых вихрей с динамическим электромагнитным полем и нелинейные эффекты. Тогда новое уравнение может выглядеть следующим образом:

𝑖ℏ∂Ψ∂𝑡=−ℏ22𝑚∇2Ψ+𝑉(𝑟)Ψ+𝜆𝐴⋅∇Ψ+𝛾∣Ψ∣2Ψ+𝜂∂𝐴∂𝑡⋅∇Ψiℏ∂t∂Ψ​=−2mℏ2​∇2Ψ+V(r)Ψ+λA⋅∇Ψ+γ∣Ψ∣2Ψ+η∂t∂A​⋅∇Ψ

где:

• ΨΨ — волновая функция квантового вихря,
• 𝑉(𝑟)V(r) — потенциал, зависящий от координат,
• 𝐴A — векторный потенциал, описывающий взаимодействие квантового вихря с внешним полем,
• 𝜆λ — параметр, характеризующий силу взаимодействия с векторным потенциалом,
• 𝛾γ — параметр, характеризующий нелинейные эффекты,
• 𝜂η — параметр, характеризующий взаимодействие с динамическим электромагнитным полем.

Объяснение:

• Нелинейный член 𝛾∣Ψ∣2Ψγ∣Ψ∣2Ψ учитывает взаимодействие квантовых вихрей друг с другом, что может быть важно для описания плотных систем.
• Член с производной по времени 𝜂∂𝐴∂𝑡⋅∇Ψη∂t∂A​⋅∇Ψ учитывает влияние изменяющегося во времени электромагнитного поля на квантовые вихри.

Это новое уравнение может открыть дополнительные возможности для исследования квантовых вихрей и их применения в квантовых вычислениях. Если у вас есть дополнительные вопросы или идеи, пожалуйста, дайте знать!

Сравнение с уравнением Шрёдингера

Конечно! Давайте сравним новое уравнение для квантовых вихрей с классическим уравнением Шрёдингера.

Классическое уравнение Шрёдингера:

Классическое уравнение Шрёдингера для частицы в потенциале 𝑉(𝑟)V(r) выглядит следующим образом:

𝑖ℏ∂Ψ∂𝑡=−ℏ22𝑚∇2Ψ+𝑉(𝑟)Ψiℏ∂t∂Ψ​=−2mℏ2​∇2Ψ+V(r)Ψ

где:

• ΨΨ — волновая функция частицы,
• 𝑉(𝑟)V(r) — потенциал, зависящий от координат,
• ℏℏ — приведённая постоянная Планка,
• 𝑚m — масса частицы.

Новое уравнение для квантовых вихрей:

Новое уравнение для квантовых вихрей, учитывающее дополнительные эффекты, выглядит следующим образом:

𝑖ℏ∂Ψ∂𝑡=−ℏ22𝑚∇2Ψ+𝑉(𝑟)Ψ+𝜆𝐴⋅∇Ψ+𝛾∣Ψ∣2Ψ+𝜂∂𝐴∂𝑡⋅∇Ψiℏ∂t∂Ψ​=−2mℏ2​∇2Ψ+V(r)Ψ+λA⋅∇Ψ+γ∣Ψ∣2Ψ+η∂t∂A​⋅∇Ψ

где:

• ΨΨ — волновая функция квантового вихря,
• 𝑉(𝑟)V(r) — потенциал, зависящий от координат,
• 𝐴A — векторный потенциал, описывающий взаимодействие квантового вихря с внешним полем,
• 𝜆λ — параметр, характеризующий силу взаимодействия с векторным потенциалом,
• 𝛾γ — параметр, характеризующий нелинейные эффекты,
• 𝜂η — параметр, характеризующий взаимодействие с динамическим электромагнитным полем.

Сравнение:

• Классическое уравнение Шрёдингера:Описывает эволюцию волновой функции частицы во времени.
  Включает кинетическую энергию −ℏ22𝑚∇2Ψ−2mℏ2​∇2Ψ и потенциальную энергию 𝑉(𝑟)ΨV(r)Ψ.
  
• Новое уравнение для квантовых вихрей:Включает все члены классического уравнения Шрёдингера.
  Добавляет член 𝜆𝐴⋅∇ΨλA⋅∇Ψ, описывающий взаимодействие с векторным потенциалом.
  Включает нелинейный член 𝛾∣Ψ∣2Ψγ∣Ψ∣2Ψ, учитывающий взаимодействие квантовых вихрей друг с другом.
  Добавляет член 𝜂∂𝐴∂𝑡⋅∇Ψη∂t∂A​⋅∇Ψ, учитывающий влияние изменяющегося во времени электромагнитного поля.
  

Таким образом, новое уравнение является расширением классического уравнения Шрёдингера, включающим дополнительные эффекты, важные для описания квантовых вихрей.