Давайте разберем процесс разложения многочленов на множители на примерах, чтобы было понятно и последовательно. Это важная тема, которая часто встречается в ОГЭ.
Пример 1. Разложение на множители методом вынесения общего множителя
Задача. Разложите многочлен 6𝑥^2+9𝑥 на множители.
1. Найдите общий множитель.
Посмотрите на коэффициенты и переменные в каждом члене многочлена. В данном случае, общий множитель для 6𝑥^2 и 9𝑥 — это 3𝑥.
2. Вынесите общий множитель за скобки.
Разделите каждый член многочлена на общий множитель и запишите результат в скобках:
6𝑥^2+9𝑥=3𝑥(2𝑥+3)
Таким образом, разложение на множители завершено:
6𝑥^2+9𝑥=3𝑥(2𝑥+3)
Пример 2. Разложение на множители методом группировки
Задача. Разложите многочлен 𝑥^3+3𝑥^2+2𝑥+6 на множители.
1. Разделите многочлен на группы.
Разделите многочлен на две группы так, чтобы в каждой группе можно было вынести общий множитель:
(𝑥^3+3𝑥^2)+(2𝑥+6)
2. Вынесите общий множитель в каждой группе.
В первой группе общий множитель — это 𝑥^2, а во второй — это 2:
𝑥^2(𝑥+3)+2(𝑥+3)
3. Вынесите общий множитель из полученных групп.
Теперь общий множитель — это (𝑥+3):
(𝑥^2+2)(𝑥+3)
Таким образом, разложение на множители завершено:
𝑥^3+3𝑥^2+2𝑥+6=(𝑥^2+2)(𝑥+3)
Пример 3. Разложение на множители методом разложения квадратного трехчлена
Задача. Разложите многочлен 𝑥^2−5𝑥+6 на множители.
1. Найдите корни квадратного уравнения.
Решите уравнение 𝑥^2−5𝑥+6=0 с помощью дискриминанта или подбора:
𝑥^2−5𝑥+6=(𝑥−2)(𝑥−3)
2. Запишите многочлен в виде произведения.
Используйте найденные корни для разложения:
𝑥^2−5𝑥+6=(𝑥−2)(𝑥−3)
Таким образом, разложение на множители завершено:
𝑥^2−5𝑥+6=(𝑥−2)(𝑥−3)
Пример 4. Разложение на множители методом разложения разности квадратов
Задача. Разложите многочлен 4𝑥^2−9 на множители.
1. Примените формулу разности квадратов.
Формула разности квадратов: 𝑎^2−𝑏^2=(𝑎−𝑏)(𝑎+𝑏). В данном случае 4𝑥^2=(2𝑥)^2 и 9=3^2:
4𝑥^2−9=(2𝑥)^2−3^2
2. Запишите многочлен в виде произведения.
Используйте формулу разности квадратов:
4𝑥^2−9=(2𝑥−3)(2𝑥+3)
Таким образом, разложение на множители завершено:
4𝑥^2−9=(2𝑥−3)(2𝑥+3)
Разложение многочленов на множители — это важный навык, который требует практики. Основные методы включают вынесение общего множителя, группировку, разложение квадратного трехчлена и использование формул разности квадратов. Практикуйтесь на различных примерах, чтобы лучше понять и запомнить эти методы.