Добрый день, читатель. В этой заметке мы поговорим о том, что такое сечение многогранника и как его построить, так же выполним парочку упражнений. В идеале, после внимательного прочтения этой статьи и самостоятельного выполнения нескольких заданий, можно научиться строить сечения на уровне ЕГЭ. Перед прочтением статьи желательно владеть аксиомами стереометрии, но можно и без них.
Для начала условимся, что же такое сечение многогранника. Сечение многогранника - это многоугольник, стороны которого лежат на гранях нашего многогранника, а вершины на ребрах (напомним, что грани объемной фигуры - это плоские фигурки, из которых состоит объемная фигура, например куб состоит из шести квадратов, а ребра - это стороны этих плоских фигурок). К слову, если мы построили какой-то многоугольник внутри нашей фигуры, и наш многоугольник удовлетворяет условиям выше, то можно сделать вывод, что наш многоугольник является сечением. Обычно так и следует поступать, то есть проверить выполнение двух данных условий, чтобы убедиться, что мы правильно построили сечение. Сразу приведем пример для наглядности.
Рассмотрим синий безымянный куб, в котором хотим провести сечение. В первом варианте мы построили многоугольник ABCD. Является ли он сечением? Давайте проверим два условия, изложенные выше. Во-первых, вершины многоугольника лежат на ребрах куба, что хорошо. Во-вторых, стороны многоугольника лежат на гранях куба, что еще лучше. Можем сделать вывод, что многоугольник ABCD является сечением исходного куба. Во втором случаем одна из сторон многоугольника ABC лежит не на грани куба, а внутри куба, что противоречит одному из условий. ABC не является сечением.
Также нужно знать, что помимо сечения выделяют понятие плоскость сечения. Эти вещи похожи, но не одинаковы. Если сечение является замкнутым многоугольником, лежащим внутри нашей фигуры, причем стороны этого многоугольника лежат на гранях объемной фигуры, а вершины на ребрах, то плоскость сечения - это вся бесконечная плоскость, в которой лежит наше сечение. Причем можно сразу поупражняться в знании аксиом стереометрии. Единственна ли такая плоскость? Ну, учитывая тот факт, что в любом многоугольнике найдутся три точки, не лежащие на одной прямой (например, если мы возьмем точки x, y, z на смежных сторонах), то через эти три точки будет проходить плоскость альфа, притом только одна.
Эта плоскость альфа бесконечна, рисунок оранжевыми линиями носит условный характер, на самом деле эти оранжевые линии можно бесконечно продолжать. И не только в стороны, но и вверх или вниз (параллельно соответствующим сторонам сечения). Мысленно подвигайте оранжевую "пластину" по линиям сечения ABCD. Теперь можно по-другому понять, что же такое сечение многогранника. По сути, сечение есть плоская фигура, лежащая внутри объемной, когда через объемную проходит плоскость сечения (наша пластина альфа). Как нож сквозь масло. Теперь, когда мы имеем представление о том, что такое сечение и плоскость сечения, самое время научиться его строить.
Правила построения сечения. Спойлер: их ровно четыре штуки.
Сразу к делу. Правило №1. Если мы знаем, что какие-то две точки принадлежат сечению, при этом они лежат в плоскости одной и той же грани, то мы смело можем их соединить. Уточним, что понятия грань и плоскость грани отличаются так же, как сечение и плоскость сечения.
Продемонстрируем. Задача: дан куб ABCDA1B1C1D1 и точки x1, x2, x3, x4. Требуется построить сечения куба альфа, проходящее через эти точки. Обычно в задачах на построение сечения даются три точки, но здесь возьмем четыре, чтобы нам хватило лишь первого правила.
Решение: руководствуясь первым правилом, соединим х1 и х3, поскольку они лежат в одной грани, грани переднего квадрата. Далее соединим х1 и х2, поскольку они лежат в одной грани верхнего квадрата. И так далее попарно соединяя мы получаем многоугольник х1х2х3х4, вершины которого лежат на ребрах куба, а стороны на гранях. Полученный многоугольник является сечением.
Теперь рассмотрим чуть менее тривиальную задачу. Дан тот же куб и те же точки, только х1 и х2 лежат на продолжении DD1 и CC1 соответственно. Изобразим это
Задача та же: нужно построить сечение через х1х2х3х4. Нам все еще хватает первого правила, давайте взглянем внимательнее. Точки х1 и х3 не лежат на одной грани, так как точка х1 вообще не лежит на кубе, следовательно она не лежит на какой-либо грани куба. Но точки х1 и х3 лежат в плоскости одной и той же грани, грани переднего квадрата. В действительности, мы ведь можем мысленно увеличить передний квадрат, получив очень большую плоскость, которая будет перед нами, тогда х1 и х3 окажутся в этой плоскости. А согласно первому правилу, в таком случае нас следует соединить их. Однако есть важное "но". Мы ведь должны получить многогранник, вершины которого лежат на ребрах куба, верно? Эта проблема решается просто. Давайте обозначим как-нибудь точку пересечения AD и x1x3, например F . Вполне очевидно, что эти линии пересекутся, ведь они лежат в одной плоскости и не параллельны. Аналогично с парой х2 и х4, ведь они лежать в плоскости грани заднего квадрата, только назвать точку пересечения лучше по-другому. И не забыть про невидимые линии.
А дальше все тривиально. F, H и х3, х4 попарно лежат в одной и той же грани, левого квадрата и нижнего квадрата. Соединим и получим многоугольник FHx3x3, стороны которого лежат на гранях куба, а вершины на ребрах куба. Следовательно, FHx3x3 - сечение нашего куба.
Правило №2. Обратимся к одной из базовых теорем стереометрии. Если у нас есть какая-то плоскость альфа, которая пересекает плоскости бета и гамма, которые при этом друг другу параллельны, то плоскость альфа пересекает их по параллельным линиям
Доказывается крайне просто. Ответим на вопрос: какие линии в пространстве параллельны? Те, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Хорошо, линии а и b лежат в одной плоскости? Да, ведь они лежат в плоскости альфа. Они пересекаются? Никак нет, ведь он лежат в параллельных плоскостях альфа и бета. То есть они лежат в одной плоскости и не пересекаются, так ведь? Тогда они параллельны.
Так как же формулируется наше второе правило? А формулируется буквально как и теорема: плоскость сечения пересекает параллельные плоскости по параллельным линиям. Это очень поможет нам в случае построения сечения куба. Рассмотрим на примере.
Перед нами все тот же куб, однако теперь задача усложнилась, нам даны только три точки х1, х2, х3, но с условием, что х2 совпадает с вершиной D, х1 и х3 являются серединами ребер A1D1 и B1C1 соответственно. что же делать? Во-первых, сразу соединим x1 и x2 по правилу №1, ведь они лежат в одной грани. Так же поступим с x1 и x3
Теперь обратимся к правилу №2. Вы ведь согласны с тем, что грани переднего квадрата AA1D1D и заднего квадрата BB1C1C параллельны друг другу? Если да, то можем смело применять второе правило, ведь сечение будет пересекать эти плоскости по параллельным линиям. Давайте найдем линию, параллельную х1х2, по которой сечение пересекает задний квадрат. Очевидно, что это линия Сх3. Следовательно, точка C принадлежит сечению. Далее соединим С и D, ведь они лежат в одной грани.
Получившийся многоугольник Cx2x1x3 является сечением. Это правило помогает в 99% случаев, если перед вами задачи построит сечение куба.
Правило №3. Если две точки принадлежат плоскости сечения, то прямая образованная этими точками тоже принадлежат плоскости сечения, и, что очевидно, любая точка на этой прямой принадлежит плоскости сечения. Тогда мы можем продлить эту прямую до пересечения с плоскостью какой-нибудь другой грани, в которой есть точка, принадлежащая сечению. А затем соединить.
Звучит логично, учитывая тот факт, что если мы возьмем две точки на какой-то плоскости, то и прямая, проходящая через эти две точки, принадлежит плоскости. Рассмотрим правило на примере.
На ребрах правильной пирамиде SABC взяты точки M, H, F так, что AM:MB = 1:2, H и F - середины сторон AS и BC cоответственно. Провести сечение через H, M, F.
Решение: Для начала, соединим H, M, так как они лежат в одной грани треугольника ASB. Далее соединим F, M, так как лежат в одной грани нижнего треугольника.
Теперь, учитывая правило №3, мы знаем, что любая точка на прямых HM, MF принадлежит плоскости сечения. А давайте продлим прямую MF до тех пор, пока она не пересечет плоскость грани ASC, обозначим эту точку K.
Теперь мы знаем, что K принадлежит плоскости сечения. Но ведь и H принадлежит сечению, находясь в одной плоскости с точкой K. Соединив эти две точки, получим прямую KH, любая точка которой принадлежит плоскости. И по той такой же идее, как на прошлом шаге, продлим эту прямую до точки пересечения KH и плоскости треугольника SBC, обозначим эту точку как L. Очевидно эта точка лежит на ребре SC, ведь SC и KH лежат в одной плоскости.
Теперь у нас есть точки L и F, принадлежащие сечению и лежащие в одной грани. Соединяем и получаем сечение HLFM.
Правило №3 заключается в идее продления прямой (которую мы провел через две точки, принадлежащие сечению) до пересечения с плоскостью соседней грани. Ведь эта точка будет принадлежать плоскости сечения, так как лежит на прямой, который принадлежит плоскости сечения. Очень помогает в случае построения сечений в пирамидах. Ведь грани пирамиды не дружат с параллельностью. В целом же правило №3 в некотором смысле обобщает второй пример из правила №1, где мы соединяли точку на ребре с точкой вне куба, ведь мы знали из условия, что они обе принадлежат плоскости сечения. Мы почти у цели, нам осталось рассмотреть последнее правило.
Правило №4.
На данный момент мы умеем строить сечение по трем точкам, но что если нам дадут задачу, в которой нам дадут лишь две точки? Конечно же, этого недостаточно, поскольку через две точки можно провести бесконечное количество плоскостей. В таком случае вам в условии предложат еще одно условие: сечение параллельно некоторой прямой. В таком случае вам поможет тот факт, что если заданную прямую, параллельно самой себе, перенести в любую точку исходного сечения, то полученная прямая будет полностью лежать в этом сечении. Рассмотрим на примере.
Дана правильная пирамида SABCD. На ребре SB выбрана точка M такая, что M - середина ребра SB. Задача: провести сечение этой пирамиды через точки M и D так, что это сечение параллельно прямой AC.
Так, во-первых, нет смысла соединять M и D, они не лежат в одной грани. Да и если мы их соединим, прямая MD нам никак не поможет. Нужно воспользоваться четвертым правилом. У нас есть прямая AC, которая параллельна плоскости сечения по условию. Давайте перенесем эту прямую параллельно самой себе в точку D, тогда получившаяся прямая будет полностью лежать в плоскости сечения.
По правилу №4 мы знаем, что новая прямая (через точку D) полностью лежит в плоскости сечения. Значит любая точка на этой прямой лежит в плоскости сечения. Теперь мы можем, вспомнив про правило №3, продлить новую прямую до пересечения с гранями ABS и SBC, обозначив как-нибудь точки пересечения с гранями.
Теперь мы знаем, что точки х1 и х2 лежат в плоскости сечения. Давайте соединим их с точкой M, которая тоже лежит в плоскости сечения и в плоскости одной грани с х1 и х2. Не забудем как-нибудь назвать точки пересечения Mx1 и Mx2 с соответствующими ребрами пирамиды.
Отлично, теперь у нас есть точки Q и K, каждая из которых принадлежит сечению. При этом они попарно лежат в одной грани с точкой D, так что мы можем соединить их с ней, получив искомое сечение DQMK.
Теперь мы владеем всеми необходимыми правилами для построения сечений в стереометрических задач. Этот навык безусловно важен, поскольку вам могут и не просить построить сечение напрямую в задаче, но для того, чтоб ее решить, построение сечения может выступить одним из шагов решения. В следующей части мы порешаем задачи на построение сечений, используя наши правила. Буду рад обратной связи в комментариях!