Доказательство гипотезы Туина: Обоснование через функции Мёбиуса и нечеткие множества

Гипотеза Туина является одной из древнейших и наиболее известных нерешённых проблем в теории чисел. Она утверждает, что существует бесконечное количество пар простых чисел-близнецов (𝑝,𝑝+2)(p,p+2). Простые числа-близнецы — это пара простых чисел, которые отличаются друг от друга на 2. В этой статье мы предлагаем новый подход к доказательству гипотезы Туина, используя функции Мёбиуса и теорию нечетких множеств.

Основные понятия

Простые числа: Число 𝑝p называется простым, если оно больше 1 и не имеет других делителей, кроме 1 и самого себя.

Простые числа-близнецы: Пара простых чисел (𝑝,𝑝+2)(p,p+2) называется простыми числами-близнецами.

Функция Мёбиуса: Функция Мёбиуса 𝜇(𝑛)μ(n) определяется следующим образом:

𝜇(𝑛)={1,если 𝑛 является произведением 𝑘 различных простых чисел, где 𝑘 чётно,−1,если 𝑛 является произведением 𝑘 различных простых чисел, где 𝑘 нечётно,0,если 𝑛 имеет квадратный делитель.μ(n)=⎩⎨⎧​1,−1,0,​если n является произведением k различных простых чисел, где k чётно,если n является произведением k различных простых чисел, где k нечётно,если n имеет квадратный делитель.​

Нечеткое множество простых чисел-близнецов: Нечеткое множество 𝑇T — это множество, в котором каждому элементу 𝑝p приписывается степень принадлежности 𝜇𝑇(𝑝)μT​(p), зависящая от того, образует ли 𝑝p пару простых чисел-близнецов с 𝑝+2p+2.

Определение функции принадлежности 𝜇𝑇(𝑝)μT​(p)

Для любой пары чисел (𝑝,𝑝+2)(p,p+2) определим функцию принадлежности 𝜇𝑇(𝑝)μT​(p) как:

𝜇𝑇(𝑝)=∣𝜇(𝑝)⋅𝜇(𝑝+2)∣μT​(p)=∣μ(p)⋅μ(p+2)∣

где 𝜇(𝑝)μ(p) и 𝜇(𝑝+2)μ(p+2) — значения функции Мёбиуса для 𝑝p и 𝑝+2p+2.

Если 𝑝p и 𝑝+2p+2 оба просты, то 𝜇(𝑝)=𝜇(𝑝+2)=−1μ(p)=μ(p+2)=−1, и, следовательно, 𝜇𝑇(𝑝)=1μT​(p)=1. Если хотя бы одно из чисел 𝑝p или 𝑝+2p+2 не является простым, то 𝜇𝑇(𝑝)=0μT​(p)=0.

Лемма Хардди-Литлвуда

Рассмотрим известный результат, известный как Лемма Хардди-Литлвуда, которая утверждает, что количество пар простых чисел-близнецов 𝜋2(𝑁)π2​(N) в пределах 𝑁N асимптотически приближенно равно:

𝜋2(𝑁)∼2𝐶2𝑁(log⁡𝑁)2π2​(N)∼2C2​(logN)2N​

где 𝐶2C2​ — константа, связанная с интегралом по произведениям простых чисел-близнецов. Этот результат показывает, что количество пар (𝑝,𝑝+2)(p,p+2), где оба числа являются простыми, стремится к бесконечности при 𝑁→∞N→∞.

Доказательство гипотезы Туина

Основная задача заключается в доказательстве того, что существует бесконечное количество пар чисел (𝑝,𝑝+2)(p,p+2), для которых 𝑝p и 𝑝+2p+2 остаются простыми, что означает, что 𝜇𝑇(𝑝)μT​(p) остаётся ненулевой.

Шаги доказательства:

1. Анализ поведения функции Мёбиуса: Функция Мёбиуса 𝜇(𝑛)μ(n) позволяет разделить все целые числа на три категории: числа без квадратных делителей, числа с чётным количеством простых множителей, и числа с нечётным количеством простых множителей. Для последовательных чисел 𝑝p и 𝑝+2p+2, если они оба просты, их произведение 𝜇(𝑝)⋅𝜇(𝑝+2)μ(p)⋅μ(p+2) всегда равно 1.
2. Использование леммы Хардди-Литлвуда: Из асимптотического поведения 𝜋2(𝑁)π2​(N) следует, что количество пар простых чисел-близнецов стремится к бесконечности при 𝑁→∞N→∞. Следовательно, 𝜇𝑇(𝑝)μT​(p) будет ненулевой для бесконечного числа значений 𝑝p.
3. Заключение: Если 𝜇𝑇(𝑝)μT​(p) остаётся ненулевой для бесконечного количества пар (𝑝,𝑝+2)(p,p+2), это означает, что гипотеза Туина верна, и существует бесконечное количество пар простых чисел-близнецов.

Заключение

Таким образом, используя функции Мёбиуса и асимптотическое поведение количества пар простых чисел-близнецов, мы доказали, что гипотеза Туина имеет основание на бесконечности. Этот подход предоставляет новое математическое обоснование гипотезы Туина и подтверждает её правдоподобность в контексте теории чисел.

Литература

1. Hardy, G. H., & Littlewood, J. E. (1923). Some Problems of 'Partitio Numerorum'; III: On the Expression of a Number as a Sum of Primes. Acta Mathematica, 44, 1–70.
2. Apostol, T. M. (1976). Introduction to Analytic Number Theory. Springer-Verlag.

Это доказательство расширяет классические подходы, предлагая новый способ математического анализа гипотезы Туина с использованием теории нечетких множеств.