Введение
Распределение нулей дзета-функции Римана является одной из центральных проблем в теории чисел. Гипотеза Римана, утверждающая, что все ненулевые нули дзета-функции лежат на критической линии ℜ(𝑠)=12ℜ(s)=21, до сих пор остается нерешенной. Предложение новой теории случайных матриц, которая могла бы моделировать распределение этих нулей, может стать ключом к пониманию структуры этих нулей и, возможно, способствовать доказательству гипотезы Римана.
Постулаты и структура матрицы
Основной идеей является моделирование распределения нулей дзета-функции с помощью спектра случайных матриц. Сначала определим структуру матрицы и её свойства.
1. Построение матриц на основе простых чисел
Пусть 𝐻H — случайная эрмитова матрица размера 𝑁×𝑁N×N. Элементы этой матрицы ℎ𝑖𝑗hij будут определяться через арифметические функции, связанные с простыми числами:
ℎ𝑖𝑗=𝜇(𝑝𝑖)log(𝑝𝑗)log(𝑝𝑖)log(𝑝𝑗)hij=log(pi)log(pj)μ(pi)log(pj)
где 𝑝𝑖pi и 𝑝𝑗pj — простые числа, а 𝜇(𝑝𝑖)μ(pi) — функция Мёбиуса.
2. Симметричность и эрмитовость
Матрица 𝐻H обладает следующими свойствами:
- Эрмитовость: 𝐻=𝐻†H=H†, что гарантирует действительность собственных значений.
- Симметрия относительно критической линии, аналогично симметрии дзета-функции Римана.
3. Функция распределения собственных значений
Пусть 𝜆1,𝜆2,…,𝜆𝑁λ1,λ2,…,λN — собственные значения матрицы 𝐻H. Функция распределения собственных значений 𝑃(𝜆)P(λ) задается следующим образом:
𝑃(𝜆)=1𝑍exp(−∑𝑖≠𝑗𝑓(𝜆𝑖,𝜆𝑗)−∑𝑖𝑔(𝜆𝑖))P(λ)=Z1exp−i=j∑f(λi,λj)−i∑g(λi)
где 𝑍Z — нормирующая константа, 𝑓(𝜆𝑖,𝜆𝑗)f(λi,λj) — функция взаимодействия между собственными значениями, а 𝑔(𝜆𝑖)g(λi) — внешнее поле, связанное с асимптотическим поведением нулей дзета-функции.
Разработка численных алгоритмов
Для проверки гипотезы о соответствии распределения собственных значений матрицы 𝐻H нулям дзета-функции Римана, необходимо разработать численные алгоритмы для генерации этих матриц и вычисления их спектра.
1. Генерация матриц
Алгоритм генерации матрицы 𝐻H включает следующие шаги:
- Выбор размера матрицы: Определите 𝑁N — размерность матрицы, где 𝑁N зависит от количества простых чисел, используемых для построения матрицы.
- Выбор простых чисел: Сгенерируйте первые 𝑁N простых чисел 𝑝1,𝑝2,…,𝑝𝑁p1,p2,…,pN.
- Выбор функции распределения: Задайте функцию распределения собственных значений 𝑃(𝜆)P(λ), используя выбранные функции 𝑓(𝜆𝑖,𝜆𝑗)f(λi,λj) и 𝑔(𝜆𝑖)g(λi).
- Заполнение матрицы: Сформируйте элементы матрицы ℎ𝑖𝑗hij в соответствии с формулой выше.
2. Вычисление спектра
Для вычисления спектра 𝜆1,𝜆2,…,𝜆𝑁λ1,λ2,…,λN матрицы 𝐻H используется метод собственных значений:
- Вычисление собственных значений: Используйте стандартные численные методы, такие как алгоритм QR или метод итераций, для вычисления собственных значений матрицы 𝐻H.
- Нормировка и сравнение: Нормируйте полученные собственные значения и сравните их распределение с распределением нулей дзета-функции Римана на критической линии.
3. Сравнение с нулями дзета-функции
Для сравнения спектра матрицы 𝐻H с нулями дзета-функции Римана выполните следующие шаги:
- Вычисление нулей дзета-функции: Используйте известные численные методы для вычисления первых 𝑁N нулей дзета-функции на критической линии.
- Сравнение распределений: Сравните эмпирическое распределение собственных значений матрицы 𝐻H с распределением нулей дзета-функции, используя методы статистического тестирования, такие как тест Колмогорова-Смирнова.
- Анализ корреляций: Проведите анализ корреляций между собственными значениями и нулями дзета-функции для поиска возможных закономерностей.
Заключение
Предложенная теория случайных матриц, основанная на распределении нулей дзета-функции Римана, предлагает новый подход к изучению этой классической математической проблемы. Разработка численных алгоритмов позволяет исследовать соответствие между спектром предложенных матриц и фактическими нулями дзета-функции, что может привести к новому пониманию структуры этих нулей и, возможно, способствовать доказательству гипотезы Римана.