Теория случайных матриц на основе распределения нулей дзета-функции Римана

Введение

Распределение нулей дзета-функции Римана является одной из центральных проблем в теории чисел. Гипотеза Римана, утверждающая, что все ненулевые нули дзета-функции лежат на критической линии ℜ(𝑠)=12ℜ(s)=21​, до сих пор остается нерешенной. Предложение новой теории случайных матриц, которая могла бы моделировать распределение этих нулей, может стать ключом к пониманию структуры этих нулей и, возможно, способствовать доказательству гипотезы Римана.

Постулаты и структура матрицы

Основной идеей является моделирование распределения нулей дзета-функции с помощью спектра случайных матриц. Сначала определим структуру матрицы и её свойства.

1. Построение матриц на основе простых чисел

Пусть 𝐻H — случайная эрмитова матрица размера 𝑁×𝑁N×N. Элементы этой матрицы ℎ𝑖𝑗hij​ будут определяться через арифметические функции, связанные с простыми числами:

ℎ𝑖𝑗=𝜇(𝑝𝑖)log⁡(𝑝𝑗)log⁡(𝑝𝑖)log⁡(𝑝𝑗)hij​=log(pi​)log(pj​)​μ(pi​)log(pj​)​

где 𝑝𝑖pi​ и 𝑝𝑗pj​ — простые числа, а 𝜇(𝑝𝑖)μ(pi​) — функция Мёбиуса.

2. Симметричность и эрмитовость

Матрица 𝐻H обладает следующими свойствами:

• Эрмитовость: 𝐻=𝐻†H=H†, что гарантирует действительность собственных значений.
• Симметрия относительно критической линии, аналогично симметрии дзета-функции Римана.

3. Функция распределения собственных значений

Пусть 𝜆1,𝜆2,…,𝜆𝑁λ1​,λ2​,…,λN​ — собственные значения матрицы 𝐻H. Функция распределения собственных значений 𝑃(𝜆)P(λ) задается следующим образом:

𝑃(𝜆)=1𝑍exp⁡(−∑𝑖≠𝑗𝑓(𝜆𝑖,𝜆𝑗)−∑𝑖𝑔(𝜆𝑖))P(λ)=Z1​exp​−i=j∑​f(λi​,λj​)−i∑​g(λi​)​

где 𝑍Z — нормирующая константа, 𝑓(𝜆𝑖,𝜆𝑗)f(λi​,λj​) — функция взаимодействия между собственными значениями, а 𝑔(𝜆𝑖)g(λi​) — внешнее поле, связанное с асимптотическим поведением нулей дзета-функции.

Разработка численных алгоритмов

Для проверки гипотезы о соответствии распределения собственных значений матрицы 𝐻H нулям дзета-функции Римана, необходимо разработать численные алгоритмы для генерации этих матриц и вычисления их спектра.

1. Генерация матриц

Алгоритм генерации матрицы 𝐻H включает следующие шаги:

1. Выбор размера матрицы: Определите 𝑁N — размерность матрицы, где 𝑁N зависит от количества простых чисел, используемых для построения матрицы.
2. Выбор простых чисел: Сгенерируйте первые 𝑁N простых чисел 𝑝1,𝑝2,…,𝑝𝑁p1​,p2​,…,pN​.
3. Выбор функции распределения: Задайте функцию распределения собственных значений 𝑃(𝜆)P(λ), используя выбранные функции 𝑓(𝜆𝑖,𝜆𝑗)f(λi​,λj​) и 𝑔(𝜆𝑖)g(λi​).
4. Заполнение матрицы: Сформируйте элементы матрицы ℎ𝑖𝑗hij​ в соответствии с формулой выше.

2. Вычисление спектра

Для вычисления спектра 𝜆1,𝜆2,…,𝜆𝑁λ1​,λ2​,…,λN​ матрицы 𝐻H используется метод собственных значений:

1. Вычисление собственных значений: Используйте стандартные численные методы, такие как алгоритм QR или метод итераций, для вычисления собственных значений матрицы 𝐻H.
2. Нормировка и сравнение: Нормируйте полученные собственные значения и сравните их распределение с распределением нулей дзета-функции Римана на критической линии.

3. Сравнение с нулями дзета-функции

Для сравнения спектра матрицы 𝐻H с нулями дзета-функции Римана выполните следующие шаги:

1. Вычисление нулей дзета-функции: Используйте известные численные методы для вычисления первых 𝑁N нулей дзета-функции на критической линии.
2. Сравнение распределений: Сравните эмпирическое распределение собственных значений матрицы 𝐻H с распределением нулей дзета-функции, используя методы статистического тестирования, такие как тест Колмогорова-Смирнова.
3. Анализ корреляций: Проведите анализ корреляций между собственными значениями и нулями дзета-функции для поиска возможных закономерностей.

Заключение

Предложенная теория случайных матриц, основанная на распределении нулей дзета-функции Римана, предлагает новый подход к изучению этой классической математической проблемы. Разработка численных алгоритмов позволяет исследовать соответствие между спектром предложенных матриц и фактическими нулями дзета-функции, что может привести к новому пониманию структуры этих нулей и, возможно, способствовать доказательству гипотезы Римана.