Слово "Дискриминант" произошло от латинского "discriminar", то есть "обособлять", "разделять", также от этого слова и произошло слово "дискриминация".
Впервые дискриминант возникает в школьном курсе в классе 7-8 при решении квадратных уравнений. Здесь дискриминант "обособляет" уравнения у которых есть два действительных решения, одно действительное решение и нет действительных решений вообще. Если говорить на более геометрическом языке, то дискриминант разделяет параболы, на те у которых два, одно или ноль пересечений с осью Ox.
Если вы не знаете, как выводиться формула Дискриминанта, то можете прочитать пост на эту тему в телеграм канале проекта.
Нетривиальная интерпретация геометрического смысла дискриминанта
Давайте вместо уравнения ax²+bx+c=0 рассматривать приведенное квадратное уравнение x²+px+q = 0, где p=b/a; q=c/a, очевидно что такое преобразование не поменяла корни уравнения. Так вместо трёх параметров a,b,c мы будем рассматривать только два параметра p,q.
Тогда посмотрим на плоскость Opq: каждому квадратному уравнению x²+px+q = 0 можно сопоставить точку (p;q).
Найдём для x²+px+q = 0 значение дискриминанта: D=p²-4q. Тогда парабола 4q=p² будет разделять плоскость на три множества (см. изображение) :
- все точки, которые "внутри" параболы будут задавать квадратные уравнения у которых два действительных решения, ведь для них выражение p²-4q>0, то есть их дискриминант больше 0 (синий цвет)
- все точки, которые принадлежат этой параболе задают уравнения с одним (кратным) действительным корнем, ведь для них значение p²-4q=0, то есть дискриминант таких уравнений равен 0 (красный цвет)
- все точки, которые "снаружи" параболы не имеют действительных корней вообще, ведь для них значение p²-4q<0, то есть дискриминант меньше 0 (зеленый цвет)
Квадратные уравнения с общим корнем
Если мы рассмотрим многочлен x²+px+q=0, то при q=0 данный многочлен принимает вид x(x+p)=0 и нетрудно заметить корни этого многочлена: x=0 и x=-p. Таким образом все параболы вида x(x+p)=0 пересекаются в точке (0;0), то есть в начале координат.
Прямая q=0 на нашей плоскости Opq, является касательной к параболе 4q=p² в точке (0;0). Как оказывается это не просто совпадение, а этот факт имеет на первый взгляд не самое тривиальное обобщение:
Все квадратные уравнения вида x²+px+q=0, которые соответствуют точкам с координатами (p;q), каждая из которых принадлежит одной и той же касательной к параболе 4q=p², имеют один общий корень: тот, что отвечает точке касания.
Докажем этот интересный факт:
Возьмём много-много приведенных квадратных уравнений у которых есть один общий действительный корень x₁, то есть парабола каждого из уравнений проходит через точку (x₁;0).
Рассмотрим какое-то одно уравнение из этой кучи уравнений. Пусть его второй действительный корень равен k. Тогда такое уравнение можно представить в виде (x-x₁)(x-k)=0. Раскрывая скобки получаем следующий квадратный трёхчлен: x²-(x₁+k)x+x₁k = 0. Тогда это уравнение на плоскости Opq задаётся точкой (x₁+k;x₁k). Если мы проделаем, так с каким-нибудь другим квадратным уравнением из той же кучи и получим вторую такую точку, то через эти две точки сможем провести прямую. Нетрудно убедиться, что ни угловой коэффициент, ни свободный член в уравнении этой прямой зависят исключительно от x₁ (угловой коэффициент равен x₁; свободный член равен -x₁²). Значит все точки вида (x₁+k;x₁k) лежат на этой прямой.
Несложно убедиться, решив систему из уравнений p=x₁+k; q=x₁k; 4q=p², что общая точка этой прямой и нашей параболы 4q=p² только в точке с координатами (2x₁;x₁²), значит получившаяся прямая действительно касательная (очевидно, что получившаяся прямая не вертикальная) ■
Следствие этого факта
Сколько касательных можно провести к нашей дискриминантной параболы из различных точек на плоскости?
Из точек над параболой (зелёная область) ни одной - у соответствующих уравнений нет действительных корней, а из точек под параболой (синяя область) ровно две - точки касания этих прямых к касательной и соответствуют двум корням квадратного уравнения, соответствующего этой точке.
Таким образом решить квадратное уравнение можно не самым тривиальным геометрическим образом:
- Построить плоскость Opq, а на ней построить дискриминантную параболу
- На плоскости Opq отметить точку, которая соответствует данному квадратному уравнению в приведенном виде. Если точка лежит над параболой, то данное уравнение действительных решений не имеет. Если точка лежит на параболе, то данное уравнение имеет одно действительное решение. Если точка лежит под параболой, то данное уравнение имеет два действительных решения.
- Если данное уравнение имеет одно решение, то есть соответствующая точку этому уравнению решит на параболе, то корень такого уравнения равен p/2
- Если данное уравнение имеет два решения, то проводим из отмеченной точки две касательной к дискриминантной параболе. А дальше для каждого уравнения, соответствующего точкам касания находим корни по правилу из прошлого пункта.
Большое спасибо за прочтение статьи, я надеюсь что я вам открыл такую привычную всем вещь, как дискриминант квадратного трёхчлена с другой, новой стороны :D
Больше интересного контента каждый день в телеграм канале "Сложно-простая математика".
Подписывайтесь, не забывайте ставить лайки и писать комментарии. Надеюсь, что мы не прощаемся :-3!