Системы исчисления

Давно хотел открыть канал для любителей математики и физики. Сдерживало то, что в математических статьях используются много формул и нет возможности загрузить их из pdf файлов. Поэтому решил писать как можно меньше формул, и больше текста о математике, о себе.

С двоичной системой исчисления я познакомился еще по окончанию третьего класса, когда мне и 10 лет не было. Родом я из деревни. В конце третьего класса в 1963 г. с отцом поехали в районный центр и зашли в книжный магазин. Отец был учителем физики и смотрел книжки по педагогике, физике. Я заинтересовался книжкой с названием типа "Математические фокусы и головоломки". Видя мой интерес отец купил эту книжку. Я за два три дня прочел. Несколько фокусов так или иначе были связаны с двоичной системой исчисления. Один из них заключался в быстрым угадывании задуманного собеседником числа от 1 до 63. На шести карточках (63< 2 в шестой степени) написаны числа от 1 до 63. На первой карте записаны все нечетные числа. У них в двоичной системе в самом младшем разряде цифра равна 1. Во второй карточке числа 2, 3, 6,7, 10,11,... все числа, у которых в двоичной системе исчисления вторая с конца цифра (при "десятках") равно 1. На третьей карточке все числа 4,5,6,7, 12,13,14,15,... у которых третья с конца цифра (при "сотках") равно 1. И так далее, в шестой карточке все числа 32,33,... от 32 до 63 (шестая цифра равно1).

Мне показалось для малого ограничения (числа меньше 64) из шести карт не очень привлекательно для фокуса. Сам нарисовал на десяти листах тетради числа от 1 до 999<2 в степени 10 по такому же принципу. В карте с номером i все числа, имеющие цифру 1 на i-ой (с конца) позиции в двоичной системе исчисления. Собеседник (сосед) придумал число и давал мне те карты, где имеется его число. Я тут же складывал первые числа с переданных карт, являющихся степенями двойки и назвал задуманное им число. Однажды он сказал, что я не угадал. Спросил какое у него число, вычел из этого числа сумму первых чисел из переданных мне карт. Оно оказалось 128. Я тут же взял карту с первым числом 128 и сказал, что он пропустил задуманное число на этой карте. Тем самым еще больше его удивил. Когда пошли в четвертый класс я приносил эти карты и в школу. Для тех, кто хочет повторит фокус, я дам программу печати таких карт.

void syst2(unsigned N, unsigned s) { // N=1000, s=10
v1 = 1;
for (l = 0; l < s; l++) {
for (v = v1; v < N; v++) {
if (v & v1) {
myfile << v << " "; std::cout << v << " "; } }
v1 <<= 1; myfile << "\n" << "\n"; std::cout << "\n "<<"\n";}
}

Двоичная система исчисления является пожалуй самой распространенной. Широко используется в компьютерах, в алгоритмах (бинарные методы), в математике. Например, для нахождения корня непрерывной функции f(x) в интервале [a,b], f(a)f(b)<0. Делим интервал на два и вычислим знак f(c), c=(a+b)/2. Если f(a)f(c)<0, продолжим искать корень в интервале (a, c) (вдвое меньшей длины), иначе в интервале (c,b) делением пополам.

В математике используются и другие системы исчисления, о которых расскажу в продолжении.