Одним из первых форсировал Днепр.
Александр Громов был из деревни Чухино, которая находится в Старицком районе Тверской области. Он вырос в крестьянской семье. Окончив начальную школу, сначала стал трудиться в колхозе, а затем уехал в Москву, где пошёл работать кровельщиком на одной из строек.
В 1939 году Александра Громова призвали в ряды Красной Армии. Когда началась Великая Отечественная война, он с первых дней сражался с врагом. Наш земляк был старшим сержантом, командиром орудия 1956-го истребительно-противотанкового артиллерийского полка 40-й истребительно-противотанковой артиллерийской бригады. Был пять раз ранен, дважды контужен.
Артиллерийскому делу Александр Громов научился на фронте. Мастерство наводчика и командира орудия постигал в боях и походах, громил врага на Курской дуге и под Орлом, под Глуховом и Гомелем, за мужество был награждён орденом Красной Звезды и медалью «За отвагу».
21 февраля 1944 года старший сержант Александр Громов в числе первых в полку со своим расчётом форсировал Днепр у деревни Вищин в Рогачёвском районе Гомельской области. В боях на подступах к Рогачёву, на берегу реки Друть расчёт Александра Громова первым выкатил своё орудие на открытую позицию. Весь огнь врага был направлен на наших артиллеристов. Это позволило другим пушкам занять боевой порядок. Точным огнём артиллеристы Громова уничтожили миномётную батарею врага.
И тут разорвавшийся снаряд вывел из строя весь расчёт, а командира тяжело ранило осколками в колено и руку. Едва держась на ногах, Александр Громов встал к орудию. Он продолжал вести бой один и и сумел уничтожить два вражеских пулемёта. Раненный он вёл огонь, пока не потерял сознания от потери крови.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 1 июля 1944 года за образцовое выполнение боевых заданий командования в боях за освобождение Белоруссии и проявленные при этом мужество и героизм старшему сержанту Александру Громову присвоили звание Героя Советского Союза.
После войны он продолжил службу в армии. С 1946 года младший лейтенант Александр Громов был уволен в запас. Он поселился в Ленинграде, стал работать строителем. Александра Ильича не стало в апреле 1968 года. Имя Александра Громова носит одна из улиц города Минска.