«Лотереи — для глупых» — так принято думать о тех, кто приобретает лотерейные билеты и надеется на выигрыш. Но на самом деле это математическая игра и участвовать в ней может каждый. В отрывке из книги Джордана Элленберга «Как не ошибаться. Сила математического мышления» вы узнаете о том, как рассчитать вероятность выигрыша и что такое ожидаемая ценность.
* * *
Стоит ли играть в лотерею? Благоразумным принято считать ответ «нет». Старый афоризм говорит нам, что лотереи — это «налог на глупость», обеспечивающий правительству доход за счет людей, введенных в заблуждение настолько, что они готовы покупать лотерейные билеты. Если воспринимать лотерею как налог, то можно понять, почему лотереи так популярны среди государственных казначейств. Сколько еще налогов люди готовы выплачивать, стоя в очередях у лотерейных терминалов?
Притягательность лотерей — явление далеко не новое. Эта практика началась еще в XVII столетии в Генуе, где лотерея появилась случайно как следствие избирательной системы. Один раз в шесть месяцев в Генуе избирали двух членов Малого совета. Вместо того чтобы проводить выборы, избрание членов совета осуществлялось посредством жеребьевки, когда из кипы бумажек с именами ста двадцати советников вытягивались две полоски. Вскоре городские любители азартных игр стали заключать пари с высокими ставками на результаты избрания членов совета. Эти пари приобрели такую популярность, что игроков начала раздражать вынужденная необходимость ждать дня выборов, чтобы сыграть в эту притягательную азартную игру. Они быстро поняли: чтобы вытягивать полоски бумаги из кучи таких полосок, в выборах вообще нет необходимости. Имена политиков заменили числами, и в 1700 году в Генуе уже действовала лотерея, которая показалась бы очень знакомой тем, кто играет в современную американскую лотерею Powerball. Игроки пытались угадать пять случайно выпавших номеров, причем чем больше чисел игрок угадывал, тем больше был его выигрыш.
Лотереи быстро распространились по всей Европе, а оттуда попали в Северную Америку. Во время Войны за независимость как континентальный Конгресс, так и правительства штатов организовывали лотереи для финансирования борьбы с британцами. В Гарварде в 1794 и 1810 годах (во времена, когда фонд финансирования университета еще не исчислялся в девятизначных цифрах) были проведены лотереи для сбора средств на строительство двух новых университетских зданий. (Эти здания до сих пор используются в качестве общежитий для первокурсников.)
Не все приветствовали это новшество. Моралисты не без оснований считали, что лотереи равносильны азартным играм. Противником лотерей был также и Адам Смит. В своем труде The Wealth of Nations («Исследование о природе и причинах богатства народов») он писал:
О том, что шансы удачи естественно переоцениваются, мы можем судить по всеобщему успеху лотерей. На свете никогда не было и не будет вполне справедливой и честной лотереи, то есть такой, в которой все выигрыши уравновешивали бы все потери, ибо в таком случае устроитель ее не имел бы никакой выгоды. В государственных лотереях билеты в действительности не стоят той цены, какую уплачивают за них первоначальные подписчики, а между тем они обычно продаются на рынке с надбавкой в 20, 30 и иногда 49%… В лотерее, в которой ни один выигрыш не превышал бы 20 ф., спрос на билеты был бы меньше, хотя бы эта лотерея в других отношениях была гораздо справедливее и честнее, чем обычные государственные лотереи. Чтобы заручиться большими шансами на получение одного из крупных выигрышей, некоторые люди покупают по нескольку билетов, а другие — мелкие доли еще большего количества их. Однако одно из наиболее достоверных математических положений состоит в том, что чем больше билетов вы рискуете приобрести, тем скорее вы окажетесь в проигрыше. рискните на все билеты лотереи, и вы наверняка проиграете, и чем больше число ваших билетов, тем несомненнее ваш проигрыш.
Убедительность высказываний Смита и его достойное восхищения упорство в рассмотрении количественных показателей не должны скрыть от вас тот факт, что его вывод, строго говоря, неверен. Большинство игроков в лотерею сказали бы, что покупка двух лотерейных билетов вместо одного не увеличивает вероятность проигрыша, а в два раза повышает вероятность выигрыша. И были бы правы! В лотерее с простой призовой структурой легко проверить все самостоятельно. Предположим, в лотерее 10 миллионов комбинаций чисел и только один победитель. Стоимость билетов 1 доллар, а приз — 6 миллионов долларов.
Человек, купивший все билеты до единого, потратит 10 миллионов долларов и получит приз в размере 6 миллионов долларов. Другими словами, как и говорил Смит, это явно проигрышная стратегия, которая обойдется игроку в 4 миллиона долларов. Мелкий игрок, купивший всего один билет, находится в более выгодном положении: у него есть как минимум один шанс из 10 миллионов остаться с прибылью!
Но, что если вы купите два билета? В таком случае вероятность проигрыша сокращается, хотя, надо признать, всего с 9999999 из 10 миллионов до 9999998 из 10 миллионов.