Группа - это одно из важнейших понятий в Алгебре, но настолько до жути простое для понимания. После прочтения этой статьи (и надеюсь последующих на тему Теории Групп ^_^) Вы сможете читать разные умные статьи на Википедии или просто душнить делать умный вид, когда о группах заходит речь. А ещё это просто интересно!
Определение и его разъяснение
Группа - множество элементов с заданной на нём ассоциативной, бинарной операцией, имеющей нейтральный элемент, причём каждый элемент группы имеет обратный ему элемент.
Если говорить более простым языком, то представим какое-то множество чисел A и какая-то бинарная операция (бинарная, значит она "на вход" принимает два числа. Например, сложение, умножение, вычитание, деление - это всё бинарные операции) ∘ (назовём эту операцию "кружочек"). Тогда чтобы операция ∘ и множество А образовывали группу, нужно выполнение каждого из следующих условий:
Ассоциативность операции "кружочек".
В 3-м классе нам говорили, про переместительное(a*b=b*a), сочетательное(a*(b*c) = (a*b)*c) и распределительное(c*(a+b) = ac+ab) свойства умножения. "По-умному" эти свойства умножения называются чуть иначе, если точнее то коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность.
Для того чтобы множество A и операция ∘ образовывали группу, нужно чтобы для любых двух элементов a,b,c ∈ A должно выполнять следующее: a∘(b∘с) = (a∘b)∘c
То есть чтобы операция "кружочек" была ассоциативна, скобки не должны влиять на ее результат.
Наличие нейтрального элемента
Одно из свойств умножения, про которое нам говорили в 3-м классе, что если мы умножим любое число a на 1, то получим это же число a. Единица и является нейтральным элементом для умножения.
Для того чтобы множество A и операция ∘ образовывали группу, нужно чтобы для операции ∘ существовал такой элемент e(нейтральный элемент), что a∘e = a, для любого a ∈ A.
Наличие обратного для каждого элемента
Все мы прекрасно знаем, что если мы умножим 2 на 1/2, то получим 1. Тогда 1/2 и 2 называют обратными. Аналогично 1/3 и 3 называют обратными, 1/4 и 4 называют обратными и так далее.
Для того чтобы множество A и операция ∘ образовывали группу, нужно чтобы для любого a ∈ A существовал элемент b∈ A, такой что a∘b = e, где e - нейтральный элемент
Обычно обратный элемент к элементу а обозначается, как a⁻¹
Еще одним важным критерием для образования группы является, что для любых a,b ∈ A результат операции a∘b также должен принадлежать множеству A
В общем случае для группы не обязательна коммутативность, то если a,b∈ A и множества A и операция ∘ образуют группу, то a∘b может быть не равно b∘a
Если же для любых a,b∈ A выполняется a∘b=b∘a и множество A с операцией ∘ образуют группу, то такую группу называют коммутативной или Абелевой группой в честь норвежского математика Нильса Хенрика Абеля.
И ещё один момент! Записать утверждение, что множество A и операция ∘ образуют группу можно следующим образом: <A, ∘>.
Обозначаются группы в свою очередь латинскими заглавными буквами.
И последний момент(честно-честно)! Если множество A и операция кружочек образуют группу G, то для любого элемента x ∈ A, можно сказать, что x∈G.
Примеры групп
Для начала возьмём какие-то достаточно привычные нам множества, а точнее натуральные числа {1,2,3,4,5,6...}, целые числа{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} и рациональные числа {1,2,1/2,-1/7,...}. Обозначаются они соответственно буквами ℕ, ℤ и ℚ.
Ну и возьмём 4 нам привычные операции: сложение, вычитание, умножение и деление.
Заметим, что по вычитанию или делению не могут образовывать группы с выше перечисленными множествами, ведь для множества выше эти операции не ассоциативны!
Группы по сложению
Образуют ли натуральные числа группу по сложению? Нет, потому что у нас нет нейтрального элемента (для сложения - это ноль). Не беда, добавим этот нейтральный элемент! Но тогда у нас проблема с обратным, то есть среди натуральных чисел и нуля нет такого числа, которое мы прибавим к единице и получим наш нейтральный элемент, то есть ноль. Получается, что натуральные числа НЕ образуют группу по сложению
Зато в целых числах такой проблемы нет! И вообще целые числа по сложению походу образуют группу! Вот она наша первая найденная группа :D!
А что с рациональными числами? Они образуют группу по сложению? Ну ассоциативность очевидно есть, нейтральный элемент - на месте и к каждому элементу мы также можем подобрать обратный, ну и если мы сложим два рациональных числа, то очевидно получим рациональное, значит рациональные числа образуют группу по сложению! Ура-ура, ещё одна группа!
Группы по умножению
Если говорить про натуральные или целые числа, то тут палки в колёса нам вставляет условие, про наличие обратного элемента. Что в натуральных, что в целых числах, нет такого числа, на которое мы умножили бы 5 и получили 1. Получается натуральные и целые числа не образуют групп по умножению.
А вот что насчёт рациональных? Казалось бы всё хорошо, кроме опять же обратного элемента! Ведь у нолика нет обратного элемента, на ноль же делить нельзя! Ну решает это просто: выкидываем 0 из этого множества и получаем, что рациональные числа без 0 образуют группу по умножению.
Мы получили 4 группы: <ℤ,+>, <ℚ,+>, <ℚ/{0},*>
"Геометрические" примеры групп
Группа C₂
Так называется группа образованная поворотами плоскости на 0° (обозначается как R₀) и 180° (обозначается как R₁₈₀). Тут очевидно присутствие ассоциативности, нейтрального элемента(R₀) и наличие обратного к каждому из элементов(для R₀ обратный R₀; для R₁₈₀ обратный R₁₈₀). Интересно, что эта группа Абелева.
Группа C₃
Аналогично предыдущей это группа образованная поворотами плоскости на 0° (обозначается как R₀), 120° (обозначается как R₁₂₀) и 240° (обозначается как R₂₄₀). Тут также очевидно присутствие ассоциативности, нейтрального элемента(R₀) и наличие обратного к каждому из элементов. Как и предыдущая группа эта группа также коммутативная.
Группа D₃
Если к группе C₃ прибавить отражения треугольника относительно трёх его осей симметрии (R₁, R₂, R₃), то мы получим группу операций, которая переводит треугольник сам в себя. Эта группа называется D₃.
Большое спасибо за прочтение статьи :D
Больше интересного контента в телеграм-канале "Сложно-простая математика".
А ещё чуть позже там будет пару задачек по Теории Групп ;)
Подписывайтесь, не забывайте ставить лайки и писать комментарии. Надеюсь, что мы не прощаемся :-3!