Ответ на этот вопрос проще, чем вы думаете! Благодаря вкладу Исаака Ньютона и Готфрида Лейбница, мы можем использовать интегральное исчисление, чтобы умно и точно нарезать пиццу. Однако она не будет привычной формы 🍕
Пицца в сегодняшней головоломке имеет радиус 7, и наша задача — разрезать её двумя параллельными разрезами, как показано на рисунке. Вопрос: где нужно сделать разрезы?
Рекомендую остановить чтение, взять ручку и бумагу и попробовать решить задачу самостоятельно. Когда будете готовы, продолжайте чтение для получения решения! ✒️
Решение: Немного геометрии
Один из способов понять круг — это представить его состоящим из четырёх равных квадрантов. Каждый квадрант составляет 1/4 площади всего круга.
Это важно для понимания решения.
Идея заключается в том, чтобы воспользоваться симметрией круга, когда он рассматривается как 4 квадранта.
x = c — наш разрез Мы делим каждый квадрант на 1/3 и 2/3 вертикальным разрезом. Например, возьмем первый квадрант.
Этот разрез будет проходить по вертикальной линии x = c через первый и четвертый квадранты.
В то же время, мы разрезаем второй и третий квадранты по линии x = -c. Эта линия симметрична x = c относительно оси y.
В результате пицца будет разделена на 3 равные части. Понимаете, почему так получается? 🍗
Это означает, что если считать четверть пиццы за единицу, каждая часть будет составлять 4/3 от четверти пиццы. Математика подтверждает это: (4/3)(1/4) = 1/3!
Выполнение вычислений
Теперь нам нужно найти значение c в вертикальном разрезе x = c, чтобы прямоугольная полоса площади составляла 1/3 от первого квадранта круга.
затенённая область — 1/3 первого квадранта Уравнение круга:
x² + y² = 49
И 1/3 площади первого квадранта:
1/3(1/4)(π)(7)² = 49π/12
Теперь составляем определённый интеграл с пределами от x = 0 до x = c, и он равен найденной выше площади.
Знаете ли вы, как решить этот интеграл? Один из способов — использовать подстановку x = 7sin(θ). Если вы всё сделали правильно, получится следующее:
Теперь вы заметите, что мы не можем алгебраически решить для c, так как это сложное выражение.
Мы воспользуемся Desmos и построим его график.
Синий = функция, Зелёный = 49π/12 Мы обнаружили, что c находится примерно в 1,85 дюйма от оси y.
Теперь вы знаете, как математически поделить пиццу, чтобы поделиться с друзьями! (Купите мне кусочек?)
Как удивительно
Какие мысли были у вас на этот раз? Напишите в комментариях, мне интересно узнать :) 💞