Всех приветствую. В этой статье покажу, как можно разделить окружность с помощью циркуля, линейки, угольника на 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, n частей. Для примера n возьму 13. Но для наглядности построения буду проводить в программе для 3D моделирования.
3 Части.
Чтобы разделить окружность с помощью циркуля и линейки на 3 части достаточно из конца диаметра (в данном случае из точки А) описать дугу радиусом R, равным радиусу окружности. Эта дуга засекает на окружности две искомые точки, третья точка деления будет на противоположном конце диаметра (точка В).
4 части.
Для деления окружности на 4 равные части достаточно провести два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и CD. Конечно, второй диаметр нужно проводить из середины первого. Окружность небольшого диаметра при наличии угольника с углом 90 градусов разделить на 4 части совсем просто.
На большой окружности построить взаимно перпендикулярные диаметры можно с помощью циркуля и линейки. Если провести один диаметр (точки E, F) и из одного его конца(точка Е) описать дугу несколько большего радиуса чем радиус окружности, а из противоположного конца диаметра(точка F) этим же радиусом сделать засечки M и N на дуге, то, соединив эти засечки прямой, которая пройдет через центр окружности, получаем второй диаметр, перпендикулярный первому. Полученные точки делят окружность на четыре равные части. Отмечу, что таким способом можно разделить любой отрезок пополам.
8 частей.
Чтобы разделить окружность на восемь частей, нужно сначала разделить ее на четыре части, затем например, из точки B построить дугу тем же радиусом что и радиус окружности. Затем из точек C, D построить две засечки(тем же радиусом) на ранее построенной дуге. Через точки пересечения дуг K, L и центр окружности можно будет провести еще два взаимно перпендикулярных диаметра.
Две пары диаметров разделят окружность на восемь равных частей.
5 и 10 частей.
Нужно найти точку на половине диаметра (в примере точка М, половина диаметра - ОС), из точки М нужно провести прямую до пересечения с точкой А. Из точки М циркулем нужно начертить окружность радиусом R/2, где R – радиус основной окружности. Окружность радиусом R/2 пересечет отрезок АМ в точке Е. Далее циркулем нужно провести дугу с центром в точке А, проходящую через точку Е до пересечения с окружностью в точках K, L. Отрезок KL это 1/5, а отрезок АЕ это 1/10. Остается только из любой точки на окружности радиусом KL в случае деления окружности на 5 частей и радиусом АЕ в случае деления окружности на 10 частей последовательно сделать засечки на делимой окружности.
6 и 12 частей.
Две дуги, с радиусом, равным радиусу окружности, проведенные из концов диаметра (в примере АВ), образуют точки на окружности. Если эти точки и точки А, В последовательно соединить хордами, то окружность будет разделена на шесть равных частей вершинами вписанного шестиугольника. Чтобы разделить окружность на двенадцать равных частей, нужно провести такое же построение еще и на диаметре CD(диаметры AB и CD взаимно перпендикулярны).
7 частей.
Из конца диаметра, например вертикального AB, проводится вспомогательная дуга радиусом R, определяющая хорду, равную стороне вписанного треугольника (см. также случай деления на три части). Половина хорды(отрезок KL) с достаточным приближением равняется стороне правильного вписанного семиугольника.
n частей.
Чтобы разделить окружность на n частей (в данном случае на тринадцать), через центр окружности проводятся две взаимно перпендикулярные прямые. Один из диаметров, например AB, по линейке делится на n равных частей (в данном случае на тринадцать). Из точки A проводится дуга, радиусом равным диаметру данной окружности (2R), до пересечения с продолжением диаметра CD. Если теперь из точек пересечения провести лучи только через четные или нечетные точки деления диаметра AB, эти лучи в пересечении с окружностью дадут искомые точки деления.
Описанный способ деления приближенный, однако, погрешность не превосходит 0,01R, что для практических целей можно считать достаточным.