Что такое одночлен и многочлен (задачи из ОГЭ)?

Давайте разберем, что такое одночлен и многочлен, и как с ними работать, на примерах.

Одночлен

Определение.

Одночлен — это алгебраическое выражение, которое представляет собой произведение чисел, переменных и их степеней. Одночлен может быть просто числом, переменной или произведением чисел и переменных.

Примеры одночленов:

1. 5

2. 𝑥

3. 3𝑎2

4. −7𝑥𝑦

5. 2𝑥3𝑦2

Разберем пример.

Возьмем одночлен 3𝑎2𝑏.

- Коэффициент. Число перед переменными, в данном случае это 3.

- Переменные. 𝑎 и 𝑏.

- Степени переменных. 𝑎 в квадрате (𝑎^2) и 𝑏 в первой степени (𝑏).

Многочлен

Определение.

Многочлен — это алгебраическое выражение, которое представляет собой сумму нескольких одночленов. Каждый одночлен в многочлене называется членом многочлена.

Примеры многочленов:

1. 2𝑥+3

2. 𝑥^2+2𝑥+1

3. 4𝑎^3−3𝑎^2+2𝑎−1

4. 5𝑥𝑦+3𝑥−2𝑦+7

Разберем пример.

Возьмем многочлен 2𝑥^2+3𝑥−5.

- Члены многочлена: 2𝑥^2, 3𝑥, и −5.

- Коэффициенты: 2, 3, и -5.

- Переменные: 𝑥.

- Степени переменных: 𝑥^2 (вторая степень), 𝑥 (первая степень), и −5 (нулевая степень, так как это просто число).

Примеры задач из ОГЭ

Задача 1.

Упростите выражение 3𝑥^2+5𝑥^2−2𝑥+4𝑥−7.

Решение:

1. Сначала сгруппируем одночлены с одинаковыми переменными и степенями:

(3𝑥^2+5𝑥^2)+(−2𝑥+4𝑥)−7.

2. Сложим коэффициенты одночленов:

8𝑥^2+2𝑥−7.

Ответ: 8𝑥^2+2𝑥−7.

Задача 2.

Найдите значение многочлена 2𝑥^2−3𝑥+4

 при 𝑥=2.

Решение:

1. Подставим 𝑥=2 в многочлен:

2(2)^2−3(2)+4.

2. Вычислим значения:

2⋅4−6+4.

3. Сложим и вычтем:

8−6+4=6.

Ответ: 6.

Одночлены и многочлены — это основные элементы алгебры, с которыми вы будете часто работать. Одночлен — это произведение чисел и переменных, а многочлен — это сумма одночленов. Важно уметь упрощать выражения и подставлять значения переменных, чтобы решать задачи.