Представьте, что у вас есть четыре кошки и весы. И вы начинаете взвешивать кошек. Но вам скучно делать это просто так, поэтому вы начинаете взвешивать кошек попарно во всех возможных комбинациях. И получили такой ряд результатов: 7 кг, 8 кг, 9 кг, 10 кг, 11 кг и 12 кг.
Можно ли, исходя из этих данных, узнать общий вес четырёх кошек и вес каждой кошки?
Ответ, как обычно, вы узнаете ниже
Чтобы найти ответ, нужно разобраться во взвешивании, которое вы провели. По условиям задачи, все кошки были взвешены попарно во всех возможных комбинациях. И понятно, что таких комбинаций всего шесть. Например, пусь наши кошки будут названы буквами: А, Б, В и Г. Теперь можно записать все варианты взвешиваний:
А + Б, А + В, А + Г
Б + В, Б + Г
В + Г
Нетрудно заметить, что во всех взвешиваниях каждая из кошек взвешивалась ровно по три раза. Что это означает? А то, что при сложении результатов всех шести взвешиваний мы получим утроенный вес всех четырёх кошек. Для наглядности мы можем сумму результатов взвешиваний представить в таком виде:
А + А + А + Б + Б + Б + В + В + В + Г + Г + Г, или ЗА + 3Б + 3В + 3Г
А сумма всех четырёх кошек будет в этом случае выглядеть так:
(А + Б + В + Г)/3
То есть, чтобы узнать суммарный вес четырёх кошек, нужно сложить результаты всех шести взвешиваний и разделить на три:
(7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12)/3 = 57/3 = 19 кг.
Таким образом, сумма весов четырёх кошек равна 19 кг.
А можно ли получить из этого вес каждой кошки? На самом деле задача едва ли разрешима, так как получается система шести уравнений, да и то с сильными допущениями относительно веса каждой кошки и суммы веса любых двух кошек. Здесь проще и быстрее действовать методом перебора. И вы без труда найдёте искомую комбинацию.
Так как суммы всех шести взвешиваний разные, то, скорее всего, и вес кошек отличается. И мы можем предположить (ведь это просто задача!), что вес кошек выражается целыми числами. При этом минимальная сумма веса двух кошек составляет 7 кг, а максимальная – 12 кг. То есть, мы можем предположить, что вес самых лёгких кошек составляет 3 и 4 кг или 2 и 5 кг, а вес самых тяжелых 5 и 7 кг или, например, 6 и 6 кг. Путём перебора мы найдём, что искомые суммы попарно дают только числа 3, 4, 5 и 7:
3 + 4 = 7, 3 + 5 = 8, 3 + 7 = 10
4 + 5 = 9, 4 + 7 = 11
5 + 7 = 12
Таким образом, кошки весят 3, 4, 5 и 7 кг, а их суммарный вес равен 19 кг – всё сходится. Но повторю, что это допущения, и можно попробовать поиграть с другими числами, в том числе и дробными. Однако делать мы это здесь не будем.