Архимед использовал исчисление как простой способ мышления, который раньше никто не видел. С другой стороны, Ричард Фейнман утверждал, что исчисление — это язык, на котором Бог создавал эту вселенную. В действительности, оба правы. Исчисление не только является формой мышления, но и способом объяснения неизвестного явления. Если мы взглянем глубже, можно предположить, что это одно и то же. В конце концов, язык — это говорящая форма мыслей. (Давайте не будем учитывать тех, кто говорит, не думая).
С тех пор, как Лейбниц предложил исчисление миру, математики и физики применяли его к законам физики, которые считали верными, но не могли доказать. Кроме того, те, кто обладает математическим мышлением, всегда использовали фундамент исчисления, математическое мышление, для решения сложных проблем вокруг них.
Поэтому не будет преувеличением сказать, что всё вокруг нас связано с исчислением.
Исчисление занимается вещами, которые постоянно меняются. Более конкретно, исчисление анализирует постоянные изменения и помогает нам действовать с большей дальновидностью. Оно также помогает нам находить оптимальные решения проблем, возникающих из-за непрерывных изменений.
Исчисление, которое мы используем и преподаем сегодня, делится на два основных направления: дифференциальное исчисление и интегральное исчисление. Эти два направления как противоположные братья и сестры друг к другу. Это потому, что если взять производную функции, а затем взять её интеграл, вы вернётесь к исходной точке.
Дифференциальное исчисление занимается концепцией скорости изменения. Это означает, что оно помогает нам находить мгновенные изменения в заданном временном промежутке.
Примеры включают постоянно меняющиеся вещи, которые нам нужно отображать на графиках. Кровяное давление, частота сердечных сокращений, фондовые рынки, вес ракет, скорость бегуна, атмосферное давление и температура, а также популяция бактерий — это лишь некоторые из многих важных примеров. Мы используем дифференциальное исчисление при анализе кривых графиков, или парабол, которые отображают эти события, чтобы найти мгновенные скорости. Это означает, что если мы достаточно приблизим параболу и увидим линейную линию, мы сможем найти среднее значение или наклон. Пример: если вы посмотрите на фотографию Усэйна Болта во время бега, вы не видите, как он бежит. Однако очевидно, что он бежит. Мы используем дифференциальное исчисление, чтобы найти скорость, с которой он бежит в этот конкретный момент (мгновенная скорость).
В интегральном исчислении мы находим криволинейную площадь между двумя заданными точками. Любой ученик начальной школы может найти площадь квадрата. Однако чтобы найти площадь криволинейного участка, нам нужно разбить график на множество, даже бесконечно множество, прямоугольников. Затем мы находим и складываем площади этих прямоугольников, чтобы получить очень точную оценку площади участка.
В этой статье я расскажу о применении исчисления, теме, которую я долго изучал и старался упростить выше. Я хочу упомянуть, что я очень сильно воспользовался лекциями невероятных математиков, таких как Али Несин и Стивен Строгатц, при написании этой статьи. Своими словами, я попытаюсь поделиться с вами примерами, которые они преподавали своим студентам на уроках.
Я имел честь получать часть своего университетского математического образования от одного из величайших математиков нашего времени, Али Несина. Мой профессор, истинный фанатик математики, постоянно призывал нас учиться мыслить как математик. Он утверждал, что каждый, включая владельца магазина, у которого мы покупаем хлеб, нашего соседа и даже политиков, управляющих нашей страной, должен мыслить математически. Да, даже политики, которые управляют страной. Хотя это утверждение может показаться утопическим, некоторые политики обладают таким мышлением.
Молодой юрист, живущий в общежитии, каждую ночь, когда все уходили спать, читал книгу, которую, возможно, не читал ни один другой студент юридического факультета. Книга была написана 2300 лет назад греческим математиком по имени Евклид, "Начала Евклида". Вопреки распространенному мнению, "Начала Евклида" не были просто учебником по геометрии. Используя треугольники, линии и круги, Евклид объяснял человечеству, почему определенные вещи абсолютны. После прочтения этой книги Линкольн изменил свое мышление и манеру речи. Линкольн объяснял, что он читал эту книгу, чтобы научиться рационально реагировать на ситуации, с которыми сталкивался. Вскоре Линкольн возглавил большую нацию, и его решения повлияли на миллионы жизней. Как юрист, он должен был овладеть рациональным мышлением, чтобы произвести впечатление на судей, перед которыми ему предстояло выступать.
История выше взята из книги Карла Сандберга "Авраам Линкольн, годы прерий и годы войны". Она также объясняется в книге Уильяма Данхэма "Путешествие через гениальность".
На самом деле, увлечение Линкольна "Началами Евклида" является прекрасным примером того, как мы можем применять математику в реальной жизни. В теоретической образовательной системе учитель будет считаться успешным, если он научит студентов связывать изучаемые вещи с реальным миром. Иными словами, если студент сможет распознать что-то изученное в реальном мире, это займет более значимое место в его сознании.
Как учитель математики, я был поражен, когда узнал об этом подходе. Каждый математик и физик с момента создания человечества применял математику, чтобы понимать и учить других о мире, в котором мы живем, нашей вселенной и даже Боге, в которого они верили. Любопытство древних греков к геометрии было результатом их стремления понять эту вселенную и Бога, который её создал. Если посмотреть на это с этой точки зрения, можно предположить, что человечество разработало правильную образовательную систему тысячи лет назад. Более того, можно предположить, что современные учителя математики и физики являются счастливыми людьми.
К сожалению, я не думаю, что мы можем прийти к такому же выводу, если посмотрим на статистику. Математика остается ночным кошмаром для подавляющего большинства студентов. Согласно Институту образовательных наук, около 93 процентов американцев испытывают некоторый уровень тревоги по поводу математики. Однако математика является фундаментальным мостом между всем, что у нас есть в реальном мире.
Вероятность того, что студент не сможет применить то, что он узнал на уроке математики, в реальной жизни, равна нулю.
Тогда почему, как учителя в целом, мы не можем этого добиться? Есть много прямых и косвенных причин этого. Причины, такие как выполнение учителем работы в зависимости от получаемой зарплаты, необходимость выполнять больше бумажной работы, чем преподавать, нерелевантные требования школьной администрации или использование неправильных методов, находятся на вершине списка. На мой взгляд, однако, это больше связано с содержанием учебного плана. Преподавая материал, связанный с учебным планом, учителя сегодня ставят перед студентом конечный результат и не углубляются в вопрос, почему то, что они преподают, работает. Всякий раз, когда студент спрашивает: "Почему мы это учим?", учителя полностью упускают возможность увлечь студента, отвечая чем-то предсказуемым, заранее подготовленным, шаблонным.
Одним из самых удручающих для меня фактов в жизни является то, что студенты очень поздно знакомятся с понятием доказательства. Идея "доказательства" должна быть представлена студенту, как только его мозг развивает абстрактное мышление. Например, когда студент начинает изучать, как найти площадь круга, он заучивает формулу πr² (пи умноженное на r в квадрате), решает несколько стандартных задач и переходит к следующей теме. Это, на мой взгляд, самая большая ошибка в математическом образовании. Как учителя, мы должны также объяснять, откуда берется формула πr². Поэтому мы должны преподавать математическое мышление, или другими словами, "исчисление".
Хотя это может показаться абсурдным, я считаю, что обучение ребенка тому, как доказывать что-то, является одним из его фундаментальных прав, наряду с водой, электричеством и доступом в интернет.
Более того, обучение этому методу мышления вовсе не трудно. Например, Стивен Строгатц в своей последней книге "Бесконечные силы: как исчисление раскрывает секреты вселенной" прекрасно объясняет, что принято считать рождением исчисления, как мы измеряли площадь круга.
В прошлом человеку было легко найти площадь правильных фигур. Например, площадь квадрата можно было легко вычислить по формуле основание*высота. Но как бы мы нашли площадь криволинейных фигур, таких как круги? Этот вопрос был одним из тех, над которым долго размышлял настоящий отец исчисления.
Сегодня многие знают Архимеда как того, кто открыл принцип плавания тел в воде [принцип Архимеда]. Однако это не было его самым значительным открытием. Его величайшим подарком человечеству был метод математического мышления, который он применял, пытаясь найти площадь круга.
Перед Архимедом стояла сложная проблема, и он не знал, как её решить. Спустя какое-то время Архимед понял, что нужно подойти к проблеме с другой стороны. Сначала он разделил проблему на меньшие части. В конце концов, управлять маленькими проблемами намного проще. Он сначала разделил круг на четыре меньших части, а затем расположил их, как показано ниже. Площадь новой фигуры должна была быть такой же, как у круга.
Архимед решил проблему. Он быстро пошел на шаг дальше, разделил круг на восемь меньших частей и расположил их, как показано ниже. Архимед был в восторге. Получившаяся фигура была практически параллелограммом. Это означало, что он мог использовать формулу основание*высота для нахождения площади.
Архимед затем разделил круг на 16, 32 и 64 части, что вы могли бы ожидать, если бы подошли к этому инстинктивно. Чем больше частей разделялось в круге, тем больше результирующая фигура напоминала параллелограмм. Архимед пришел к выводу, что если бы мы выполняли эту операцию бесконечно, мы бы получили площадь круга и разработали формулу πr².
Этот чудесный пример является кратким изложением исчисления. Разделение проблем, которые люди не могут решить, на меньшие части, а затем их индивидуальное решение перед объединением — это основная идея исчисления.
Да, исчисление — это простой метод мышления. При решении задачи по исчислению единственное, что делается по-другому, это бесконечное разделение на меньшие части. При нахождении производной или интеграла вы выполняете действие бесконечно.
К сожалению, мы не учим этому наших студентов. Я искренне не понимаю, почему образовательная система, верящая в применение знаний студентов к реальной жизни, не учит студентов такой великолепной и простой вещи. Хотя исчисление является невообразимым благословением для учителей математики и науки. Это потому, что исчисление — это язык, который мы можем использовать для объяснения всего вокруг нас.
Как вы помните, я начал статью с истины, в которую верил Ричард Фейнман. Для Фейнмана "исчисление — это язык, на котором говорит Бог". Некоторые из вас могут опровергнуть это утверждение, сказав, что Фейнман не верил в Бога. Однако Стивен Строгатц прекрасно объясняет, почему Фейнман сделал это заявление, в своей лекции "Красота исчисления" в Йельском университете.
Гарман Воук — отмеченный наградами писатель. Он обычно пишет исторические романы. Он хотел написать очень подробный роман о Второй мировой войне. Результат Манхэттенского проекта, атомная бомба, должен был определить конец войны. Поэтому Герман Воук хотел поговорить с тогда молодым ученым, работавшим над Манхэттенским проектом, Ричардом Фейнманом. Это потому, что один из самых известных ученых современности — Ричард Фейнман. После приятной беседы Фейнман спрашивает Воука, знает ли он исчисление. Когда Воук отвечает отрицательно, Фейнман говорит: "Тебе лучше его выучить; это язык, на котором говорит Бог".
Герман Воук был верующим и поступил так, как сказал Фейнман. Он нанял частного учителя, чтобы выучить исчисление, и захотел поступить в старшую школу и учиться с основ. После этого он написал книгу о религии и науке под названием "Язык, на котором говорит Бог". В своей книге он пишет:
"Я брал и просматривал учебники для первокурсников в книжных магазинах колледжей, надеясь найти такой, который мог бы помочь такому математическому невежде, как я, который провел свои колледжские годы в гуманитарных науках." — Герман Воук, "Язык, на котором говорит Бог", стр. 6
Фейнман не сказал этого просто ради разговора. Многие признанные ученые до него также знали эту истину. Например, Ньютон задумывался, почему Луна на небе не падает на Землю. У него были некоторые мысли, но он не мог их объяснить; ни его латинский, ни его английский не были достаточными для этого. После изучения исчисления он объяснил человечеству этот чудесный случай в явных деталях, используя дифференциальные уравнения. После Ньютона математики и физики шаг за шагом строили современный мир, используя исчисление.
Например, они были любопытны к людям, живущим на другой стороне земного шара, и изобрели беспроводную связь, чтобы мгновенно связаться с ними. Они были любопытны к Луне, которую видели каждую ночь, и отправили туда человека. Они хотели свободно падать с края космоса и смогли точно рассчитать точку приземления. Невидимое невооруженным глазом, они предполагали, что атом должен иметь невероятное количество энергии, поэтому они его расщепили и открыли ядерную энергию. Они устали ждать девять месяцев, чтобы узнать пол ребенка, поэтому изобрели способ узнать состояние здоровья ребенка. Они создали карты, достаточно детализированные, чтобы видеть отдельные улицы на спутниковых снимках, и эффективно устранили проблему поиска пути домой.
Все приведенные выше примеры имеют за собой исчисление. Стивен Строгатц подтверждает это утверждение в своей лекции в Йельском университете, объясняя, как исчисление помогло нам открыть электромагнитные поля. К сожалению, эта лекция была удалена с YouTube из-за проблем с авторскими правами.
Почти все в детстве играли с магнитами. И, вполне естественно, вы, вероятно, были очарованы невидимым полем вокруг них. Это потому, что дети имеют особый интерес к узорам и симметрии. Поэтому учащиеся средней и старшей школы интересуются узорами, которые образуют железные опилки вокруг магнита. Это явление, ныне называемое электромагнетизмом, не могло быть объяснено до 1800-х годов. Все видели завораживающие формы, образуемые вокруг магнита, но никто не мог объяснить, почему. Майкл Фарадей долго размышлял над этим вопросом, но не мог объяснить его окружающим, так как у него не было достаточных математических знаний. Затем невероятный математик по имени Джеймс Максвелл решил использовать то, что Ньютон использовал для объяснения гравитации, исчисление, чтобы описать это явление.
Сначала Максвелл взял все физические записи Фарадея и математически сформулировал их с помощью исчисления. Затем, не изменяя их, он переписал эти формулы по-другому. Используя одну формулу, он открыл другие и пытался понять их с другой точки зрения. Наконец, одна из найденных им уравнений была ответом на его вопрос. Он превратил все знания Фарадея в двадцать дифференциальных уравнений. Эти уравнения объясняли, как магнитное поле, описанное Фарадеем, создаёт электромагнитные волны. Его работа позже была опубликована под названием "О физических линиях силы" в марте 1861 года.
Когда Максвелл глубже проанализировал найденные уравнения, он обнаружил ещё более важное открытие. Максвелл первым обнаружил, что свет, который освещает наш мир, является электромагнитной волной. Это означало, что человечество наконец узнало, что такое свет. Позже, когда Максвелл подставил правильные переменные в найденные уравнения, он сделал ещё одно великолепное открытие; скорость света.
Как видите, Максвелл с помощью исчисления узнал, как Бог создал эту вселенную и как мы можем использовать созданное Богом. Всё в этой вселенной имеет своё назначение, и мы не можем ожидать, что свет издалека скажет нам, откуда он пришёл. Однако с помощью исчисления мы можем определить, как движется этот свет, откуда он пришёл и как мы можем его использовать.
Этот научный путь, который прошли Максвелл и Фарадей, фактически является тем, о чём Ричард Фейнман говорил Воуку. Чтобы понять вселенную, мы должны использовать возможности, которые предоставляет нам исчисление. Вскоре после этого Эйнштейн и Тесла сделают то же самое, что делали Максвелл и Фарадей до них, изменяя мир. Максвелл сделал то же самое, что и гений Ньютон до него.
Открытие исчисления и обучение его использованию заняло у человечества тысячи лет. Однако дизайн современного мира с помощью исчисления произошел невероятно быстро. Это потому, что исчисление было мостом для математиков с огромным воображением, чтобы применить свои идеи в реальной жизни. Каждый новый математик и физик добавлял к знаниям и открытиям предыдущих ученых, совершая невероятные открытия.
Этот процесс продолжается и сегодня с ускорением. Хотя мы, обычные люди, этого не видим, использование исчисления для дальнейшей модернизации и улучшения нашего мира продолжается. Это потому, что по определению исчисление означает "математика изменений". Поскольку эти изменения непрерывны, профессор Строгатц называет исчисление "математикой непрерывных изменений". Поэтому применение исчисления продолжает расти с каждым днём.
Например, графические дизайнеры используют исчисление в анимациях, которые мы смотрим, намеренно или нет. Это потому, что для создания трёхмерных или даже гиперреалистичных персонажей они должны использовать миллионы полигонов и треугольников, которые должны быть как можно меньше.
Эта техника появилась, когда Архимед нашёл площадь криволинейной фигуры, многократно разделяя её на меньшие участки. Это означает, что для нахождения площади параболы Архимед нарисовал треугольник внутри неё как можно большего размера. Затем, насколько это возможно, он нарисовал ещё треугольники в пустых местах параболы. Поскольку он мог найти площадь этих треугольников, их комбинация должна была быть близка к площади параболы. Чем больше треугольников он мог вписать в параболу, тем ближе он был к нахождению её площади.
Это явление также можно использовать для нахождения площади круга. Мы знаем, что круг — это просто многоугольник с бесконечным числом сторон. Так, хотя шестиугольник не является кругом, додекагон (12-угольный многоугольник) немного напоминает круг. Если мы нарисуем додекаконтагон (120-угольный многоугольник), мы, кажется, нарисовали круг. Если мы нарисуем чилиагон (1000-угольный многоугольник), он выглядит как идеальный круг. Используя эту логику, исчисление сегодня используется для создания анимаций.
Медицинская сфера также использует эту технику для создания анимационных фильмов. Почти человеческие реплики, на которых врачи практикуют операции, полностью сделаны с использованием исчисления. Перед пересадкой сердца врач должен многократно практиковаться, чтобы совершенствовать свою методику, потому что малейшая ошибка может привести к смерти пациента. Поэтому подготовленные модели должны быть сделаны с идеальной детализацией, и эти детали можно получить только с помощью исчисления.
В последнее время врачи из Программы пересадки лица в Нью-Йорке успешно пересадили лицо Джо Димио, пострадавшему от ожогов, который потерял всё своё лицо. Типы моделей, которые создаются для таких пластических операций, также делаются с использованием исчисления.
Однако применение исчисления не ограничивается криволинейными фигурами. Исчисление также тесно связано с мгновенными скоростями изменения скорости. Например, кружа в потоке машин, вы замечаете полицейскую машину с включёнными огнями, ожидающую, чтобы вас остановить. Когда вы остановитесь, полицейский может сказать вам, что в данный момент времени вы ехали со скоростью 98 миль в час. Как вы могли подумать, радар, который он держит, использует программу, применяющую исчисление для нахождения этой скорости. С помощью очень простой математической операции этот радар может найти вашу среднюю скорость.
Многие из вас знают, что средняя скорость измеряется делением пройденного расстояния на время, за которое оно было пройдено. Если вы проехали 60 миль за час, ваша средняя скорость составит 60 миль в час. Если вы проехали 20 метров за 1 секунду, ваша скорость составит 20 метров в секунду. При наличии необходимой технологии вы могли бы найти среднюю скорость за одну тысячную долю секунды. Поэтому полицейские радары измеряют время, за которое пройдено расстояние между двумя точками. Они разделяют этот временной интервал на почти бесконечно малые части, чтобы получить мгновенную скорость. Эта операция, взятие производной, является ещё одной ветвью исчисления.
Математика мирового рекорда Усэйна Болта
Мы используем ту же технику, что и полицейские на дорогах, чтобы измерять скорость олимпийских бегунов. Я уверен, что всякий раз, когда мы упоминаем олимпийских бегунов, одно из имён, которое приходит на ум, это Усэйн Болт. Мы все знаем его, как побившего невообразимый мировой рекорд в своей жёлтой форме и с симпатичной манерой. Усэйн Болт побил мировой рекорд на 100 метров в 2009 году, пробежав дистанцию за 9.58 секунд.
Используя простой процесс, мы можем получить среднюю скорость 10.43 м/с из 100/9.58. Однако эта скорость не имеет большого значения для нас. Получение его средней скорости на заданном расстоянии не помогает нам анализировать забег. Например, если мы найдём максимальную скорость, с которой он бежал во время этого забега, мы сможем глубже говорить о человеческом пределе.
Как мы можем найти его максимальную скорость? Время, за которое он пробежал 100 метров, даёт нам среднюю скорость. Давайте сократим расстояние и повторим операцию. Например, давайте проведём измерение каждые 10 метров и возьмём его среднюю скорость каждые 10 метров. Делая это, мы увидим, что в некоторых частях он был быстрее, а в других — медленнее.
Дадут ли эти измерения его максимальную скорость? Если рассматривать это с той же логикой, нет. Это потому, что каждые 10 метров — это большое расстояние для нахождения максимальной скорости. Поэтому, если мы будем измерять каждые метр, у нас будет 100 измерений, и у нас будет более точный результат. Когда вы анализируете график, вы заметите, что в некоторых частях он медленнее. Это из-за трения, которое возникает, когда он ставит ногу на землю.
Если подойти к этому интуитивно, мы знаем, что мы можем найти его среднюю скорость каждую секунду или даже меньший промежуток времени. Конечно, для этого нам потребуются очень мощные машины.
Математика для космоса
Примеры анализа изменения скорости, которые я привёл выше, жизненно важны в нашей повседневной жизни. Мы почти сделали своей целью, как человечество, однажды жить в космосе, но это не так просто, как сесть в ракету и улететь. В самом простом виде нам нужно точно знать, когда ракета, отправляющаяся на Луну, покинет атмосферу и где она будет находиться в космосе в каждый момент времени.
Это означает, что мы должны постоянно отслеживать скорость ракеты. Однако на скорость ракеты постоянно влияют бесчисленные факторы. Как вы могли подумать, ракета несёт топливо и использует его для продвижения вперёд. Масса топлива постоянно меняется, изменяя массу ракеты и влияя на её скорость. С другой стороны, тяга ракеты продвигает её в противоположном направлении с невероятной силой. Это потому, что согласно третьему закону Ньютона, каждое действие имеет равное и противоположное противодействие. Кроме того, ракета должна сбрасывать части себя в определённые моменты. Учитывая все эти параметры, нам нужно найти скорость изменения импульса ракеты. Мы можем сделать это только с помощью производных.
По той же логике атмосфера постоянно меняет температуру и давление. Сегодня, используя дифференциальные уравнения, метеорологи могут прогнозировать погоду.
Количество примеров, которые я привёл выше, можно умножить до бесконечности. В итоге, мы используем исчисление в повседневной жизни для математического моделирования и анализа всего, что мы хотим. Когда мы создаём роботов, видеоигры, розы ветров, говорим о кровотоке, анализируем любые данные и работаем над вирусами, бактериями и другими организмами, которые быстро распространяются, мы всегда используем исчисление, когда отправляемся в космос.
Поэтому я лично благодарен Архимеду, Лейбницу и Ньютону.