Для решения практически всех встречающихся на ЕГЭ по математике уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, достаточно уметь применять три приёма:
- Раскрытие модуля по определению
- Возведение обеих частей уравнения в квадрат
- Разбиение на промежутки
Рассмотрим их более подробно.
1. Раскрытие модуля по определению
По определению, модуль функции равен:
Решим уравнение
В соответствии с определением модуля данное уравнение эквивалентно совокупности систем:
После раскрытия скобок и перегруппировки получаем:
Как видим, в данной совокупности первая система эквивалентна равенству, а вторая -- неравенству:
Объединяя эти два выражения, получаем ответ:
2. Возведение обеих частей уравнения в квадрат
Решим то же самое уравнение другим способом. Для этого необходимо сначала перегруппировать уравнение так, чтобы одна часть уравнения содержала модуль, а вторая -- все члены без модуля. Наше уравнение уже изначально имеет такой вид. Теперь необходимо выделить область, где левая и правая части уравнений неотрицательны. Правая часть уравнения всегда положительна, левая часть уравнения неотрицательна при
Следовательно, наше уравнение имеет смысл только на этом множестве.
Возведя левые и правые части уравнения в квадрат, получаем тождественное выражение:
Полученное выражение истинно на области определения уравненя, слеовательно решением уравнения будет
3. Разбиение на промежутки
Этот метод рационально применять в случае, если уравнение содержит сумму вырежений под знаком модуля. Для примера рассмотрим решение уравнения:
Применение первого способа приводит к громоздкой совокупности систем:
Очевидно, раскрытие модуля с помощью определения модуля в данном случае нерационально. Применим способ разбиения на промежутки. Обозначим на числовой прямой точки, в которых выражения под знаком модуля принимает нулевые значнеия, то есть меняет знак:
Разметим промежутки знакопостоянства для выражений под знаком модуля:
Теперь после раскрытия модулей мы получаем совокупность из трёх систем:
Как видим, на интервале от минус бесконечности до -9 модуль в левой части уравнения раскрывается с плюсом, а в правой части -- с минусом. На полуинтервале от -9 включительно до 7 оба модуля раскрываются с плюсом. На оставшейся части от 7 до плюс бесконечности левый модуль раскрывается с минусом, а правый -- с плюсом. Решая полученную совокупност систем, получаем:
Очевидно, первая и последняя системы решения не имеют, так как содержащиеся в них равенства ложны. Остающаяся система имеет рещение -1, что и является решением исходного уравнения.
Ответ: