Фрактал —это множество, обладающее свойством самоподобия, то есть объект, который в точности или приближённо совпадает с частью себя самого. В математике фракталы представляют собой множества точек в евклидовом пространстве с дробной метрической размерностью или метрической размерностью, отличной от топологической.
Простыми словами фрактал представляет собой объект при увеличении которого его части повторяются
Множество Жюлиа
Этот фрактал получается довольно простой формулой f(z)=z^2+c
- z и c ∈ C (z и с являются комплексными числами)
- !Комплексные числа — это числа вида a + bi, где a и b — вещественные числа,а i — мнимая единица, то есть число, для которого i^2 = -1. Множество комплексных чисел обычно обозначается символом C!
Чтобы изучить как же работает эта формула для начала занулим число с
Таким образом мы видим что у нас получается круг, потому что при занулении коэффициента с в формуле множества Жюлиа получается круг, потому что все комплексные числа, удовлетворяющие условию |z| < 2, остаются на единичной окружности при итерациях функции комплексного переменного
Перейдём к числу с, сразу понимая что с = a + bi
При изменении коэффициента a и занулении b получаем следующие результаты:
При изменении коэффициента b и занулении a картина меняется:
Мы выяснили что при изменении коэффициента a меняется форма и при отрицательном значении она не будет похожа на тоже положительное, а вот отрицательное значение b это зеркальное отражение формы при таком же положительном b
Снежинка Коха
Снежинка Коха — это фрактальная кривая, основанная на кривой Коха, которая была описана в 1904 году шведским математиком Хельге фон Кохом. Снежинка Коха создаётся путём итеративного построения, начиная с равностороннего треугольника. На каждой последующей стадии к сторонам предыдущего треугольника добавляются внешние изгибы, образуя меньшие равносторонние треугольники. В результате снежинка Коха имеет бесконечный периметр, но конечную площадь.
Треугольник Серпинского
Треугольник Серпинского — это удивительный фрактал, который обладает свойством самоподобия. Он состоит из множества маленьких треугольников, вложенных друг в друга. Каждый из этих треугольников также является фракталом, что делает треугольник Серпинского бесконечно сложным и красивым объектом.
Треугольник Серпинского можно создать с помощью различных математических алгоритмов и программ. Он может быть использован для иллюстрации принципов самоподобия и рекурсии в математике, а также для создания уникальных узоров и изображений.
Треугольник Серпинского часто сравнивают с другими фракталами, такими как снежинка Коха и кривая Пеано. Однако, в отличие от них, треугольник Серпинского имеет более простую структуру и легче поддаётся визуализации.
Кривая Пеано
Кривая Пеано — это общее название для параметрических кривых, образ которых содержит квадрат или открытую область пространства. Она названа в честь Джузеппе Пеано, первооткрывателя таких кривых.
Кривая Пеано была открыта в 1890 году и представляет собой непрерывное отображение единичного отрезка в единичный квадрат. Она была построена математиком Давидом Гильбертом и заполняет пространство, проходя через каждую точку квадрата.
Кривая Пеано используется в общей топологии и фрактальной геометрии для изучения заполнения пространства и одномерных множеств.
Множество Мандельброта
Множество Мандельброта — это множество точек на комплексной плоскости, для которых рекуррентное соотношение zn+1=zn2+c (z0=0) задаёт ограниченную последовательность. Это множество было названо в честь французского математика Бенуа Мандельброта.
Множество Мандельброта является одним из самых известных фракталов и обладает цветными визуализациями. Оно было впервые описано в книге Мандельброта «Фрактальные объекты: форма, случайность и размерность», опубликованной в 1975 году.
Множество Мандельброта образуется путём итерации функции zn=zn−12+c, где z0=0 и c — комплексное число. Если начальное значение z0 лежит достаточно близко к началу координат, то последовательность zn будет ограниченной и образует множество, называемое множеством Мандельброта.
Множество Мандельброта имеет сложную структуру и демонстрирует непредсказуемое и удивительное поведение. Оно состоит из различных геометрических фигур, цветных пятен и пыли, окружающих эти фигуры.
Изучение фракталов началось в начале XX века, но систематическое изучение связано с работами Бенуа Мандельброта в 1970-х годах.
Итог
Фракталы — это удивительные геометрические объекты, обладающие свойством самоподобия. Они находят применение в различных областях науки и техники, например, в компьютерной графике, радиотехнике и моделировании сложных процессов. Изучение фракталов помогает расширить представление о математике и красоте окружающего мира.
Вы можете посмотреть на удивительный мир фракталов на специальных сайтах, вот один из таких "Исследовать!"
Спасибо за чтение статьи!