Пауль Эрдёш — один из самых важных математиков 20-го века. За свою жизнь он опубликовал более 1500 статей, охватывающих широкий спектр тем. Этот огромный объем работ сопоставим только с трудами Евклида. Большинство этих статей были посвящены решению существующих проблем, а не разработке новых теорий. Эрдёш широко сотрудничал, что помогло ему создать такое впечатляющее количество работ.
Кроме своей работы, он также запомнился своим эксцентричным образом жизни. У него не было постоянного дома; вместо этого Эрдёш путешествовал между домами своих друзей и на разные конференции. Он ожидал, что друзья будут предоставлять ему жилье и еду, а также стирать его одежду! Математики, которые терпели эту странную ситуацию, часто получали несколько новых результатов благодаря интенсивной совместной работе. Эрдёш сотрудничал с более чем 500 людьми, что привело к появлению понятия «число Эрдёша». Сам Эрдёш имеет номер 0, его соавторы — номер 1, а соавторы этих соавторов — номер 2, и так далее.
Эрдёш считал, что постановка математических задач так же важна, как и их решение. Он часто публиковал новые задачи и предлагал денежные награды за их решение. Одной из самых известных задач, предложенных им, является гипотеза Коллатца, за решение которой он предлагал $500. Чтобы решать эти задачи, Эрдёш высоко ценил простые и элегантные доказательства. Часто в своих лекциях он ссылался на «Книгу». Хотя сам он был агностиком, Эрдёш описывал «Книгу» так:
«визуализация книги, в которой Бог записал лучшие и самые элегантные доказательства математических теорем» — Пауль Эрдёш
С тех пор математики составили список доказательств, которые, как считается, достаточно элегантны, чтобы попасть в «Книгу», при значительном участии Эрдёша (ссылка на список приведена в конце статьи). Некоторые теоремы имеют несколько элегантных доказательств, например, факт, что существует бесконечное количество простых чисел, имеет шесть различных доказательств. Они варьируются от элементарных до высоко продвинутых.
Учитывая его любовь к простоте, сам Эрдёш усердно работал, чтобы найти самое элегантное решение каждой задачи. Это было очевидно в его новаторском доказательстве постулата Бертрана, который уже был доказан десятилетия назад. Эрдёш нашел гораздо более чистую версию и опубликовал ее, когда ему было всего 19 лет, что принесло ему немало внимания.
Постулат Бертрана
Этот постулат довольно легко понять. Выберите число n, которое больше 1. Мы предлагаем, что всегда существует простое число между n и 2n. Сам Бертран доказал, что это верно для n до 3,000,000 вручную, и он предположил, что это верно для всех n больше 1. Мы можем сами проверить это для нескольких небольших чисел.
Но как доказать, что это верно для всех n? Для этого Эрдёш использовал совершенно другую область — комбинаторику. Я не буду вдаваться в детали здесь, но Эрдёш опирался на несколько различных результатов, чтобы создать свое простое доказательство. Если хотите увидеть всю работу, я привел ссылку в конце этой статьи.
Задача о счастливом конце
Это еще одна теорема, которую легко понять и за которой стоит забавная история. Взяв любой набор из пяти точек, можно соединить четыре из них, чтобы образовать выпуклый четырехугольник. Выпуклый означает, что ни один из его углов не изгибается внутрь, как в примере четырехугольника ниже. На изображении выше показаны три примера наборов из пяти точек и выпуклые четырехугольники, которые можно с ними образовать. Эстер Кляйн работала с друзьями Георгием Секерешем и Паулем Эрдёшем над решением этой задачи в 1930-х годах.
Тройка смогла доказать это, разделив все возможные расположения пяти точек на три разных случая. Важно, что мы предполагаем, что никакие две точки не находятся в одной и той же позиции и что никакая группа из трех точек не лежит на одной прямой. Это называется общим положением.
Исходная задача была идеей Кляйн, и ей удалось доказать, что пять точек могут образовать либо выпуклый пятиугольник, четырехугольник, либо треугольник с оставшимися точками в середине. Три изображения выше показывают, как можно перейти от каждой из трех ситуаций к образованию выпуклого четырехугольника. За этим стоит еще немного математики, но это основная идея их доказательства.
Эта теорема получила свое название благодаря Паулю Эрдёшу и обстоятельствам, связанным с ней. Хотя другие два математика, Кляйн и Секереш, знали друг друга до работы над этой задачей, они стали намного ближе благодаря этой работе. В конце концов они поженились, что привело к названию задачи как Задача о счастливом конце. Эрдёш считал, что решение этой задачи было важной частью их ранних отношений.
Рассматриваемая как забавная математическая задача, а не что-то серьезное, она заложила основу для невероятно важной области математики, называемой теорией Рамсея. Теория Рамсея занимается доказательством того, какие элементы порядка должны возникнуть в случайном сценарии. Эта теорема доказывает, что определенный тип фигуры должен появляться в любом случайном расположении пяти точек.
Много работы было проделано для распространения этой теоремы на большие фигуры. Мы знаем, что в любом случайном расположении девяти точек можно образовать выпуклый пятиугольник. Это число быстро растет, так как требуется семнадцать точек, чтобы гарантировать существование выпуклого шестиугольника. Количество точек, необходимое для образования любой большей фигуры, в настоящее время неизвестно, но это остается активной областью исследований и достигло значительных успехов с использованием компьютеров. Математики пытаются выяснить, работает ли предложенное Эрдёшем уравнение:
когда f(N) — это количество случайных точек, необходимых для гарантии существования выпуклого многоугольника с N сторонами. Учитывая известные значения, это все еще может быть правдой.