Игроки и астрономы — две очень разные группы людей, которые на самом деле были ответственны за возникновение теории вероятностей. Первые хотели лучше понимать шансы, а вторые стремились получать точные наблюдения с помощью своих примитивных инструментов.
Конечно, азартные игры вряд ли прокормят вас в долгосрочной перспективе. Многие люди утверждают, что они счастливо живут, играя в кости, но нельзя быть везучим всегда.
В древние времена люди, которые играли в азартные игры, думали, что исход игры был чем-то, что они не могли контролировать, поскольку считали, что все зависит от удачи. Поэтому они никогда не ожидали, что один исход будет более вероятным, чем другой.
Математики начали находить связи между азартными играми и вероятностями, возможно, в XVI веке. Джероламо Кардано (1501–1576) считается первой ключевой фигурой в развитии теории вероятностей. В 1564 году он написал книгу под названием "Liber de ludo aleae — Игры на удачу", которая содержала первое использование вероятностей наряду с некоторыми эффективными методами мошенничества. Также он выразил эффективность определения шансов как соотношения благоприятных и неблагоприятных исходов.
Через столетие два великих математика всех времен, Пьер де Ферма (1601–1665) и Блез Паскаль (1623–1662), заинтересовались аналогичными проблемами. Оба они независимо столкнулись с «Проблемой очков» и предложили свои решения.
Эта проблема формулируется следующим образом:
«Есть два игрока, А и Б, играющих в честную игру по раундам. Тот, кто первым выиграет 6 раундов, получит награду. Теперь предположим, что по какой-то причине игра должна быть неожиданно остановлена, когда А выиграл 5 раундов, а Б — 3. Как тогда разделить награду между ними?»
Кристиан Гюйгенс (1629–1695) был еще одной важной фигурой в раннем становлении теории вероятностей. Он впервые ввел концепцию ожидаемой ценности. Эта идея помогла определить вероятность вероятных исходов на основе средних результатов нескольких экспериментов. Он написал первую научную статью под названием «Ожидаемая ценность в азартных играх» в области теории вероятностей.
Им также была сформулирована проблема под названием «Разорение игрока», которая гласит:
Каждый игрок начинает с 12 очков, и успешный бросок трех кубиков (получение 11 для первого игрока или 14 для второго) добавляет одно очко к счету игрока и вычитает одно очко из счета другого игрока; проигравший в игре — тот, кто первым достигнет нуля очков. Какова вероятность победы для каждого игрока?
Абрахам де Муавр (1667–1754) был французским математиком и также великим аналитическим теоретиком вероятностей. Он написал книгу «Доктрина шансов», которая была высоко оценена азартными игроками. Более того, он первым выдвинул центральную предельную теорему, которая служит основой статистики.
Он решил одну из очень известных и похожих проблем, которая формулируется следующим образом: «Предположим, что есть два игрока, и каждый начинает с фиксированного количества жетонов. После завершения раунда проигравший должен отдать один жетон победителю. Какова вероятность того, что игрок выиграет все жетоны за определенное количество раундов?»
Как видите, суть всех этих азартных проблем заключается в подсчете. Теория вероятностей так или иначе вращается вокруг подсчета и определения вероятностей.
Как кто-то однажды сказал:
«Есть три типа людей в мире:
Те, кто умеют считать,
и те, кто не умеют»
— неизвестный
Якоб Бернулли (1655–1705) принадлежал к семье, которая дала миру много выдающихся математиков. Он получил известность за предложение первой версии закона больших чисел.
Он написал книгу «Ars Conjectandi — Искусство гадания», которая была опубликована его племянником Николаусом Бернулли (1687–1759) через восемь лет после его смерти. В книге были объединены комбинаторные концепции и предыдущие работы по теории вероятностей Гюйгенса, ван Схоотена, Готфрида Лейбница, Жана Престета и других. Он писал о вероятности следующим образом:
… вероятность как измеримая степень уверенности; необходимость и случайность; моральное против математического ожидания; априорная и апостериорная вероятность; ожидание выигрыша, когда игроки разделены по умению; учет всех доступных аргументов, их оценка и их исчисляемая оценка; закон больших чисел …
Другой племянник Якоба, Даниэль Бернулли (1700–1782), был известен тем, что разрешил знаменитый парадокс в теории решений, называемый Петербургским парадоксом/лотереей, который формулируется следующим образом:
Предположим, что казино предлагает игру на удачу для одного игрока с честной монетой. Игра начинается с 2 долларов в кармане игрока. После подбрасывания монеты, если выпадает орел, сумма удваивается, если выпадает решка, игра прекращается, и игрок получает все, что находится в банке. Так, игрок выигрывает 2 доллара, если решка выпадает на первом подбрасывании, 4 доллара, если орел выпадает на первом подбрасывании и решка на втором, 8 долларов, если орел выпадает на первых двух подбрасываниях и решка на третьем и так далее.
Так какая же справедливая цена за участие в этой игре?
Очевидно, можно рассчитать ожидаемую выплату на каждом раунде, то есть с вероятностью 1/2 игрок может выиграть 2 доллара, с вероятностью 1/4 он может выиграть 4 доллара, с вероятностью 1/8 он может выиграть 8 долларов, и так далее, пока монета будет выпадать орлом. Ожидаемый выигрыш в этой повторяющейся игре — бесконечное количество денег. Таким образом, если кто-то хочет играть в эту игру бесконечно, ему нужно иметь бесконечное количество денег. Но кто бы заплатил бесконечную сумму за участие в этой игре?
Даниэль предложил решение этой проблемы в своей книге (Specimen theoriae novae de mensura sortis — Изложение новой теории измерения риска). Его решение основывалось на концепциях неприятия риска, страховой премии и функции полезности.
Пьер-Симон Лаплас (1749–1827) был одним из последних, кто работал над сочетанием теории вероятностей и азартных игр. Он представил обобщенные и расширенные версии многих предыдущих проблем в своей книге (Théorie analytique des probabilités — Аналитическая теория вероятностей). Его книга считалась самой мощной работой по теории вероятностей того времени.
Но, к сожалению, ко времени Лапласа люди стали меньше интересоваться азартными играми и больше интересоваться практическими и сложными проблемами, такими как применение теории вероятностей в других развивающихся областях, таких как страхование и инвестиции. В действительности существует явное согласие между проблемами азартных игр и инвестициями на фондовом рынке и т.д.
Теория вероятностей в наши дни является основой для многих других научных областей, таких как финансы, страхование, прогнозирование погоды, планирование ресурсов, эпидемии, предсказание результатов голосования на предстоящих выборах и т.д. Даже самая передовая теория физики, то есть квантовая теория, сводится к распределению вероятностей для описания движения частиц на очень малом масштабе.
В заключение, великие древние математики вместе с игроками в кости сделали что-то очень полезное, предоставив нам такую теорию. Конечно, вся эта дискуссия не означает поощрение азартных игр, а лишь напоминание о том, как люди занимаются этой деятельностью на протяжении всей истории.