Свойства числовых неравенств
Уважаемые мамы и папы, дедушки и бабушки!
На примерах решений заданий № 747 и 749 из учебника по алгебре для 8-го класса авторов Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешкова и С. Б. Суворова под редакцией С. А. Теляковского предлагаю вспомнить свойства числовых неравенств.
Задание 747:
Пусть m, n, p и q — некоторые числа, причём m > p, n > m, n < q. Сравните, если это возможно, числа p и n, p и q, q и m. При сравнении чисел воспользуйтесь координатной прямой.
Решение:
В главе IV §10 п. 29 учебника на странице 165 учебника даётся теорема: если a > b и b > c, то a > с.
Доказательство этой теоремы приводить не будем — это уже сделали авторы учебника. Мы просто начертим координатную прямую и в соответствии с условием задачи расставим на ней точки:
Точка m находится правее точки p, n — правее точки m, а n лежит левее точки q.
На рисунке мы видим, что точка p находится левее точек n и q, следовательно p < n и p < q.
Точка q находится правее точки m, следовательно q > m.
Ответ: p < n, p < q и q > m.
Задание 749:
Какими числами (положительными, отрицательными) являются a и b, если известно, что верны неравенства:
Решение:
В главе IV §10 п. 29 учебника на странице 166 учебника даётся теорема: если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, то получиться верное неравенство.
Доказательство этой теоремы приводить не будем — это уже сделали авторы учебника. Мы просто воспользуемся ей для решения.
В данном случае к обеим частям неравенства добавлено одно и то же число – 3, но при этом b больше четырёх, следовательно, исходя из теоремы, число a тоже будет больше четырёх — ведь оно больше, чем b.
Все числа, которые больше четырёх, являются положительными числами, поэтому числа a и b тоже положительные.
В данном случае к обеим частям неравенства добавлено одно и то же число – 8, но при этом a меньше минус двенадцати, следовательно, исходя из теоремы, число b тоже будет меньше минус двенадцати — ведь оно меньше, чем a.
Все числа, которые меньше минус двенадцати, являются отрицательными числами, поэтому числа a и b тоже отрицательные.
В главе IV §10 п. 29 учебника на странице 167 учебника даётся теорема: если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство.
Доказательство этой теоремы приводить не будем — это уже сделали авторы учебника. Мы просто воспользуемся ей для решения.
В данном случае обе части неравенства умножены на одно и то же положительное число 7, но при этом b больше одной второй, следовательно, исходя из теоремы, число a тоже будет больше одной второй — ведь оно больше, чем a.
Все числа, которые больше одной второй, являются положительными числами, поэтому числа a и b тоже положительные.
В отличие от предыдущего задания, здесь a и b умножаются на одно и то же отрицательное число.
В главе IV §10 п. 29 учебника на странице 167 учебника даётся теорема: если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, и изменить знак на противоположный, то получится верное равенство.
Проще говоря, если a и b, умножить на одно и то же отрицательное число, (в данном случае это минус два) без изменения знака на противоположный, то при a > b левая часть неравенства станет меньше правой, а при a < b — большей.
В данном случае левая часть неравенства больше правой, следовательно, a < b (ведь мы же не поменяли знак на противоположный).
Все числа, которые меньше минус одной третьей, являются отрицательными числами, поэтому числа a и b тоже отрицательные.
P. S. К сожалению, даже в восьмом классе некоторые дети (а иногда и их родители) путают знаки «<» и «>». Понять значение знаков может помочь правило: где больше, туда ротик больше. Например:
285 > 163 и 163 < 285.
Независимо от того, слева или справа стоит число 285, ротик раскрыт в её сторону, так как оно больше числа 163.