Чтобы понять, почему произведение двух отрицательных чисел дает положительное число, нам нужно обратиться к фундаментальным принципам алгебры. Начнем с определения целых чисел и их свойств. Целые числа образуют математическую структуру, называемую коммутативным кольцом. Это означает, что они обладают следующими свойствами: Замкнутость относительно сложения и умножения Ассоциативность сложения и умножения Коммутативность сложения и умножения Существование нуля как аддитивной единицы Существование противоположных элементов для сложения Дистрибутивность умножения относительно сложения Теперь перейдем к доказательству. Оно состоит из нескольких шагов. Шаг 1: Докажем, что 0 * a = 0 для любого целого числа a. Доказательство: 0 * a = (0 + 0) * a (по свойству аддитивной единицы) = 0 * a + 0 * a (по свойству дистрибутивности) Вычтем 0 * a из обеих частей: 0 = 0 * a Шаг 2: Докажем, что -1 * a = -a для любого целого числа a. Доказательство: -1 * a + a = -1 * a + 1 * a (по свойству мультипликативной единицы) = (-1 + 1) * a (по свойству дистрибутивности) = 0 * a (по определению противоположных элементов) = 0 (по результату Шага 1) Следовательно, -1 * a = -a Шаг 3: Докажем, что (-a) * (-b) = a * b для любых целых чисел a и b. Доказательство: (-a) * (-b) = (-1 * a) * (-1 * b) (по результату Шага 2) = (-1 * -1) * (a * b) (по свойству ассоциативности и коммутативности умножения) Теперь нам нужно доказать, что -1 * -1 = 1 -1 * -1 = -(-1) (по результату Шага 2) = 1 (по определению противоположного элемента) Итак, мы доказали, что (-a) * (-b) = 1 * (a * b) = a * b
Таким образом, мы показали, что произведение двух отрицательных чисел всегда дает положительное число!