Когда я изучал математику в начальной и средней школе, я не знал, что на самом деле изучал лишь крошечную часть разнообразной области, наполненной наукой, знаниями и искусством.
Это было похоже на взгляд на радугу, где единственный свет, который ты видишь, это то, что ты способен увидеть, но на самом деле ты наблюдаешь лишь крошечную часть более величественного вида — большего спектра света, который скрыт, пока ты не получишь правильное оборудование, так сказать.
С математикой все то же самое. Тебя кормят тем, что они считают, ты способен понять, и скрывают хорошие вещи до тех пор, пока они не считают, что ты готов!
Надеюсь, что это написание приподнимет завесу и откроет некоторые скрытые компоненты математики, чтобы те, кто сохранил свой математический искру, смогли взглянуть на истинные цвета этого неустанного стремления к знаниям и изяществу.
Математика как область изучения имеет много поддисциплин, и в этой статье мы пройдемся по основным из них одну за другой и попробуем объяснить, что они охватывают и почему мы их изучаем.
Чтение таких слов, как «Алгебраическая топология», может быть довольно пугающим для начинающих студентов математики и любителей, пытающихся войти в эту область. Это не должно быть преградой, потому что это просто вопрос разбиения на части, чтобы это было усваиваемо. Многие люди испытывают страх или чувство запугивания от математики и математиков, но я здесь, чтобы сказать вам, что это не обязательно должно быть так.
Я ясно помню, как пытался получить представление о большом количестве областей математики, как они связаны и о чем они. Это было запутанно и сложно. Эта статья предназначена как небольшая экскурсия, которая должна сделать области математики более понятными.
Каждый может изучать математику. К сожалению, по-настоящему хорошие вещи скрыты на более низких уровнях. Давайте посмотрим, о чем же великие темы математики.
Теория чисел
Эта тема является одной из старейших подполей математики. Она изучается с древности и в значительной степени является фундаментом всей математики. Лично мне всегда нравилась эта тема из-за ее чистоты.
Но о чем она на самом деле?
Эта тема посвящена изучению натуральных чисел. То есть положительных целых чисел, иногда называемых нашими счетными числами, и вы можете подумать, что с учетом того, что у нас было почти 4000 лет для исследования этих довольно простых чисел, мы должны были бы уже закончить. Я имею в виду, если бы это было предложением ремесленника с дедлайном в 4000 лет на понимание 1, 2, 3, ..., я думаю, большинство людей отклонило бы его!
Но, как и со многими вещами в жизни, обманчиво простой узор становится намного сложнее при более глубоком исследовании. В частности, они становятся очень загадочными, когда мы смотрим на мост между двумя простыми операциями сложения и умножения.
Теория чисел, среди прочего, занимается исследованием мультипликативной структуры натуральных чисел. Причина этого в том, что эти числа оказываются имеющими мультипликативную ДНК — уникальный рецепт, который описывает их полностью как построенные из базовых чисел, называемых простыми числами. Это похоже на то, как ДНК построена из базовых молекул, и идея заключается в том, что для понимания натуральных чисел мы пытаемся понять простые числа.
Простые числа — это числа p > 1, такие что единственными делителями p являются 1 и p. Последовательность простых чисел начинается 2, 3, 5, 7, 11, ... и поиск общей формулы для n-го простого числа был своего рода святым Граалем математики с тех пор, как греки начали их изучать около 300 г. до н.э.
Чтобы дать вам представление о этой уникальности, возьмите, например, число 12. Простая факторизация 12 — это {2, 2, 3}, потому что 12 = 2⋅2⋅3 = 2²⋅3, и его нельзя записать с использованием любых других простых чисел. Это уникальный набор простых чисел, произведение которых равно 12, и это разложение на уникальные простые числа верно для любого натурального числа.
Сразу же возникают два очень естественных вопроса:
1. Есть ли закономерность в распределении простых чисел среди натуральных чисел?
2. Сколько простых чисел существует?
Ответ на первый вопрос: «Мы так не думаем!» Мы знаем, что простые числа становятся все более редкими по мере продвижения по числовой линии, и именно поэтому второй вопрос не так очевиден, как может показаться. Промежутки между последовательными простыми числами становятся произвольно большими, однако около 300 г. до н.э. Евклид доказал, что существует бесконечно много простых чисел. Это все еще одна из коронных драгоценностей теории чисел, и мы до сих пор учим наших студентов его доказательству!
Мы также знаем приблизительное распределение простых чисел, то есть у нас есть асимптотические формулы, приближающие количество простых чисел до некоторого числа. Гаусс предположил, что простые числа растут примерно как функция x/log(x), где log здесь — натуральный логарифм (часто обозначаемый ln в других контекстах), и это было доказано в конце 19 века. С тех пор идет поиск лучших приближений. Наивысший такой результат, который мы считаем верным, называется гипотезой Римана, однако она остается нерешенной по сей день.
Следует отметить, что в теории чисел есть много поддисциплин. У нас есть аналитическая теория чисел (смешивающая теорию чисел и комплексный анализ), алгебраическая теория чисел и т.д., но вместо того, чтобы перечислять все эти области, я бы предпочел объяснить вам, что такое анализ и алгебра на самом деле.
Перед тем, как двигаться дальше, нам нужна знаменитая цитата одного из мастеров.
«Математика — королева наук, а теория чисел — королева математики».
— Карл Фридрих Гаусс
Геометрия
Геометрия вместе с теорией чисел является одной из старейших дисциплин в математике и классически занимается формами, размерами, расстояниями, углами и т.д.
Геометрия применяется во всех естественных науках в той или иной форме, и по этой причине мы все еще учим наших детей о треугольниках, кругах, линиях и так далее. Например, в теории относительности Эйнштейна мы рассматриваем гравитацию как следствие геометрической формы 4-мерного многообразия, которое мы называем пространственно-временным континуумом!… Круто, знаю…
Геометрия является одной из первых областей, которую аксиоматизировали (поставили на строгую основу снова древние греки) и в этом смысле исторически это первый пример современной математики.
Классически существует три различных типа геометрий. Несколько изменив аксиомы, мы можем получить либо сферическую геометрию, где сумма углов в треугольнике больше 180 градусов, в другую сторону у нас есть гиперболическая геометрия, в которой сумма углов в любом треугольнике меньше 180 градусов, и затем в середине у нас есть старая добрая евклидова геометрия (плоская геометрия), которую мы все изучали в школе.
У нас также есть проективная геометрия, где мы можем позволить параллельным линиям встретиться в «точке на бесконечности», что играет ключевую роль в диофантовых уравнениях и теории эллиптических кривых.
Геометрия, конечно, тесно связана с тригонометрией, где мы изучаем функции углов, определяемые на единичной окружности. Думаю, мы все помним кошмары о тригонометрических тождеств.
Когда математики говорят о геометрии, они обычно имеют в виду либо дифференциальную геометрию, либо алгебраическую геометрию. В дифференциальной геометрии мы изучаем локальные свойства форм в нескольких измерениях, используя гладкие функции, определенные на этих формах.
В алгебраической геометрии мы изучаем формы, определяемые решениями многочленов уравнений, известных как алгебраические многообразия, используя теорию из абстрактной алгебры (о которой я коснусь ниже).
«Геометрия — архетип красоты мира».
— Иоганн Кеплер
Алгебра
Алгебра — это абстракция чисел. В элементарной алгебре мы изучаем свойства арифметических операций, используя переменные как заменители наших чисел. Позже, изучая более продвинутый предмет абстрактной алгебры, мы узнаем о обобщении симметрий, называемых группами, и обобщении числовых систем, называемых кольцами. У нас даже есть обобщения векторных пространств (называемых модулями), а также многие другие конструкции.
Мы также изучаем векторные пространства и линейные операторы между ними, называемые матрицами, которые составляют область линейной алгебры.
Алгебра — это клей математики, некоторые говорят, язык математики. Без алгебры мы бы не продвинулись далеко. Каждый раз, когда уравнение решается, мы используем техники из алгебры в той или иной форме. На самом деле, первое использование алгебры исторически было для получения некоторого рода рецепта для решения часто встречающихся уравнений.
Египтяне, вавилоняне и древние греки были одними из первых, кто исследовал ранние техники алгебры, но только когда персидский математик аль-Хорезми опубликовал одну из самых влиятельных книг по этой теме в 9 веке, эта область выделилась как собственная ветвь математики.
За сотни лет персидские, арабские и индийские математики развили эту дисциплину, в то время как Европа и остальной мир практически стояли на месте. Затем в 13 веке путешествующие торговцы из арабского мира передали свои знания об алгебре в Европу, где церковь и академическая культура сделали так, чтобы распространение знаний было заблокировано на примерно 300 лет. В Италии даже было незаконно использовать индийско-арабские цифры (наши современные числа)! Представьте, что вас отправляют в тюрьму за то, что вы записали «2» вместо «II».
Как только алгебра была освобождена от церкви, все начало двигаться быстро. Европа вошла в Ренессанс на полной скорости, и вместе с ним также начался математический Ренессанс. В невероятном интеллектуальном прыжке Рене Декарт объединил геометрию и алгебру через графики функций в двухмерной координатной системе, которая до сих пор носит его имя (декартова система координат), и эти две дисциплины с тех пор тесно связаны. Чтобы быть справедливым, Декарт не был единственным, кто предложил это, но кредит почему-то достался ему.
Дуальность алгебры и геометрии — это то, что мы до сих пор учим наших детей в школе, и в университете это превратилось в экзотическую область алгебраической геометрии, где мы изучаем геометрические формы, образованные решениями многочленов уравнений через абстрактные алгебраические техники, такие как кольца и идеалы (определенные хорошие подкольца).
«Алгебра — это интеллектуальный инструмент, созданный для прояснения количественных аспектов мира».
— Альфред Норт Уайтхед
Анализ и математический анализ
Анализ и математический анализ — это изучение функций. В частности, дифференцируемых функций и их свойств. Область анализа заключается в разборке функции для понимания ее свойств, в то время как математический анализ обычно о теории дифференцирования и интегрирования функций с использованием различных техник.
Тема дифференциальных уравнений особенно важна в прикладной математике и является одним из самых важных инструментов в физике и инженерии. На самом деле, почти все физические законы можно сформулировать на языке дифференциальных уравнений!
У нас есть подполе комплексного анализа, которое занимается анализом и математическим анализом функций комплексной переменной. Оказывается, что эта теория значительно отличается от реального анализа и имеет, в некотором смысле, гораздо более богатую теорию. Комплексный анализ настолько мощен, что многие реальные проблемы можно решить только с его помощью. Когда мы объединяем комплексный анализ с теорией чисел, мы получаем аналитическую теорию чисел, где мы раскрываем секреты наших натуральных чисел, используя голоморфные (комплексно-дифференцируемые) свойства комплексных функций!
Когда мы объединяем анализ с геометрией, мы получаем дифференциальную геометрию, где мы изучаем формы, используя теорию из математического анализа.
В анализе также у нас есть теория меры, которая позволяет нам говорить об области и объеме в гораздо более общем смысле и находить «объем» более общих множеств, чем подмножества ℝ^n. Эта теория является основой теории вероятностей! Она тесно связана с областью теории интеграции, которая использует результаты теории меры для интегрирования функций, которые не являются интегрируемыми по Риману на более общих множествах, чем наши обычные числовые поля.
«Математический анализ — это самое мощное оружие мысли, которое когда-либо было изобретено человеческим умом».
— Уоллес Б. Смит
Топология
Топология — это фундаментальная математическая дисциплина, где мы изучаем «формы», но параметры интереса не размеры, углы, кривизна или гладкие функции, которые являются фундаментальными в геометрии.
Вместо этого нас интересует классификация форм вплоть до растяжения, изгиба и склеивания (в определенной степени), но не разрыва и разрезания. Карты интереса не обязаны быть гладкими (сохраняющими геометрию), а скорее непрерывными (сохраняющими топологию). В этом смысле топология более «фундаментальна», чем геометрия.
Классический пример концепции топологической формы — это факт (или шутка, на самом деле), что чашка для кофе и пончик топологически эквивалентны, поскольку можно преобразовать чашку для кофе в форму пончика, если чашка для кофе бесконечно растяжима — основная особенность — это отверстие!
Область особенно мощна, когда мы объединяем ее с инструментами и техниками из абстрактной алгебры. Эта область известна как алгебраическая топология. Оказывается, что каждая класс форм имеет определенные алгебраические симметрии, называемые группами, прикрепленными к ней (одна группа в каждом измерении), и алгебраические особенности этих групп переводятся в топологические особенности данной класс форм.
Структуросохраняющие карты между группами (называемые гомоморфизмами групп) переводятся в карты между классами форм, которые сохраняют топологию форм и наоборот — непрерывные карты переводятся в гомоморфизмы.
В топологии у нас также есть более нишевые предметы, такие как теория узлов, где мы изучаем математические узлы, а также другие более экзотические дисциплины.
«Топология — это именно та математическая дисциплина, которая позволяет переходить от локального к глобальному».
— Рене Том
Дискретная математика
Дискретная математика — это набор нескольких поддисциплин, охватывающих комбинаторику и теорию графов до математической логики и аксиоматической теории множеств. Все они объединены тем, что все они касаются неконтинуальных математических объектов (под «дискретным» мы понимаем неконтинуальное).
Комбинаторика — это математическое искусство подсчета. Мы используем техники из комбинаторики в теории вероятностей и других смежных областях, где основные факторы — это выбор, комбинации и перестановки.
В теории графов (которая, кстати, также может рассматриваться как часть топологии!) мы изучаем объекты и их отношения, где важны только отношения, а не размеры или метрики.
Примером является социальные сети, где отношения (или ребра, как их называют) представляют собой дружбу, но нам не важны физические расстояния между друзьями! Другой пример — это знакомая карта метро. Она определенно не сохраняет углы или расстояния ни в коей мере. Важно то, можете ли вы добраться от точки A до точки B и какой поезд вам нужно взять. Таким образом, важны отношения — а не география.
Дискретная математика также может быть объединена с непрерывной в подполе конкретной математики. Здесь мы обычно используем многочлены и степенные ряды, где пересечение между двумя полями лежит в взаимодействии между дискретными коэффициентами и непрерывной природой степенного ряда, рассматриваемого как функция.
Эти функции (где коэффициенты что-то считают или представляют какой-то вид интересной последовательности) называются порождающими функциями.
Дискретная математика — это смесь предметов из различных областей, включая группы, кольца и поля из абстрактной алгебры и математической логики, среди прочего.
Математическая логика касается языка математики и ее фундамента. Строгая формулировка математических утверждений и определение истины самой по себе. Мы работаем с формальными языками и фундаментом математики, называемым аксиомами.
У нас также есть теория множеств, которая в определенном смысле является самой фундаментальной теорией, потому что все остальное можно построить из нее. По крайней мере, теоретически. В теории множеств мы изучаем коллекции вещей, называемых множествами, такие как числа, включая бесконечные коллекции чисел.
Мы узнаем, что некоторые множества содержат большие бесконечности вещей, чем другие множества. Да, есть разные виды бесконечностей. На самом деле, есть бесконечно много различных размеров бесконечностей! Как велика эта бесконечность бесконечностей, вы спрашиваете? Прекрасный вопрос для другой статьи…
«Акцент на математических методах, кажется, смещается в сторону комбинаторики и теории множеств — и от алгоритмов дифференциальных уравнений, которые доминируют в математической физике».
— Джон фон Нейман
Заключительные замечания
Надеюсь, эта статья проливает свет на некоторые различные математические дисциплины и то, как они связаны. Лично я бы хотел иметь такой обзор, когда начал изучать математику, чтобы получить представление о том, где я нахожусь и куда мне выгодно двигаться дальше.
Одно из ключевых пониманий, которое начинает приходить, как только у вас есть этот обзор, заключается в том, что многие из концепций, которые мы изучаем в различных поддисциплинах, действительно являются одной и той же концепцией! Мы просто смотрим на нее с разных перспектив. Так что, кажется, существуют универсальные свойства через поля.
Например, для изучения векторных пространств, реальными объектами интереса оказываются функции между ними, сохраняющие их структуру, т.е. линейные отображения (матрицы), для изучения групп из абстрактной алгебры мы изучаем структуросохраняющие карты между ними, называемые гомоморфизмами, структуросохраняющие карты между топологическими пространствами — это непрерывные карты, структуросохраняющие карты между множествами — это функции и так далее.
Определенные структуросохраняющие карты между некоторыми пространствами эквивалентны другим структуросохраняющим картам между эквивалентными пространствами.
Область, изучающая эти абстрактные структуры сверху, называется теорией категорий, и это абстракция математики и ее поддисциплин самих по себе. Это алгебра математики!
Некоторые говорят, что математика — это замок, где вы продолжаете строить на истинных утверждениях, некоторые говорят, что это паутина переплетенных идей, некоторые говорят, что это наука, а некоторые говорят, что это не так.
Я говорю, что это искусство знания, истины, изящества и красоты.
Банах сказал следующее о ней:
«Математика — это самое красивое и мощное творение человеческого духа». — Стефан Банах
Спасибо за чтение.
