©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Авторы: И. В. Ященко, С. А. Шестаков
Содержание:
1.3 Прямоугольный треугольник. Уровень А. Уровень B. Уровень C.
🟢Уровень A
№1
а)
📝Решение
Сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90°, отсюда искомый угол равен 90° - 34° = 56°.
✅Ответ: 56°.
б)
📝Решение
Один из острых углов прямоугольного треугольника составляет 180° - 137° = 43°; а сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90°, отсюда искомый угол равен 90° - 43° = 47°.
✅Ответ: 47°.
№2
а)
📝Решение
Высота, проведённая к гипотенузе, делит прямой угол на углы, равные острым углам треугольника; тогда бо́льший из данных углов равен 90° - 37° = 53°.
✅Ответ: 53°.
б)
📝Решение
Высота, проведённая к гипотенузе, делит прямой угол на углы, равные острым углам треугольника; тогда мéньший острый угол прямоугольного треугольника равен 90° - 58° = 32°.
✅Ответ: 32°.
№3
а)
📝Решение
Поскольку столб подпирает горку посередине, то столб является средней линией треугольника; тогда l = h/2 = 1,5.
✅Ответ: 1,5.
б)
📝Решение
Поскольку столб подпирает горку посередине, то столб является средней линией треугольника; тогда l = h/2 = 1,85.
✅Ответ: 1,85.
№4
а)
📝Решение
По т. Пифагора окно расположено на высоте, равной √(13^2 - 5^2) = 12 (метров).
✅Ответ: 12.
б)
📝Решение
По т. Пифагора окно расположено на высоте, равной √(20^2 - 12^2) = 16 (метров).
✅Ответ: 16.
№5
а)
📝Решение
По т. Пифагора длина троса составляет √(15^2 + 8^2) = 17 (метров).
✅Ответ: 17.
б)
📝Решение
По т. Пифагора длина троса составляет √(12^2 + 9^2) = 15 (метров).
✅Ответ: 15.
№6
а)
📝Решение
По т. Пифагора верхний конец лестницы находится на высоте, равной √(3^2 - 1,8^2) = 2,4 (метров).
✅Ответ: 2,4.
б)
📝Решение
По т. Пифагора верхний конец лестницы находится на высоте, равной √(2,5^2 - 2^2) = 1,5 (метров).
✅Ответ: 1,5.
№7
а)
📝Решение
По т. Пифагора гипотенуза равна √(20^2 + 21^2) = √841 = 29.
✅Ответ: 29.
б)
📝Решение
По т. Пифагора катет равен √(17^2 - 8^2) = √225 = 15.
✅Ответ: 15.
№8
а)
📝Решение
Медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы; отсюда медиана равна 54/2 = 27.
✅Ответ: 27.
б)
📝Решение
Медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы; отсюда гипотенуза равна 32*2 = 64.
✅Ответ: 64.
№9
а)
📝Решение
Наибольшая средняя линия прямоугольного треугольника параллельна гипотенузе; по т. Пифагора гипотенуза равна √(8^2 + 6^2) = 10; тогда наибольшая средняя линия равна 10/2 = 5.
✅Ответ: 5.
б)
📝Решение
Наибольшая средняя линия прямоугольного треугольника параллельна гипотенузе; по т. Пифагора гипотенуза равна √(10^2 + 24^2) = 26; тогда наибольшая средняя линия равна 26/2 = 13.
✅Ответ: 13.
№10
а)
📝Решение
Катет, прилежащий к углу 60°, - наименьший, и равен 48 * cos 60° = 48/2 = 24.
✅Ответ: 24.
б)
📝Решение
Катет, противолежащий углу 30°, - наименьший; тогда гипотенуза равна 27/cos(30°) = 27/(1/2) = 54.
✅Ответ: 54.
№11
а)
📝Решение
AC = AB * sin∠B = AB * √(1 - cos^2 (∠B)) = 5 * √(1 - 9/25) = 5 * 4/5 = 4.
✅Ответ: 4.
б)
📝Решение
tg∠C = 3/4 ⇒ cos∠C = 4/5; BC = AC/cos∠C = 8/(4/5) = 10.
✅Ответ: 10.
№12
а)
📝Решение
Пусть a и b - катеты прямоугольного треугольника, тогда S = 1/2 * a * b = 1/2 * 12 * 16 = 96.
✅Ответ: 96.
б)
📝Решение
Пусть a, b и c - стороны прямоугольного треугольника, где a =15, b - катеты и c - гипотенуза. Тогда по т. Пифагора b = √(c^2 - a^2) = √(17^2 - 15^2) = 8. S = 1/2 * a * b = 1/2 * 15 * 8 = 60.
✅Ответ: 60.
№13
а)
📝Решение
Пусть a, b и c - стороны прямоугольного треугольника, где a =16, b - катеты и c - гипотенуза. Тогда по т. Пифагора b = √(c^2 - a^2) = √(34^2 - 16^2) = 30. S = 1/2 * a * b = 1/2 * 16 * 30 = 240.
✅Ответ: 240.
б)
📝Решение
Пусть a, b и c - стороны прямоугольного треугольника, где a = 28, b - катеты и c - гипотенуза. Тогда по т. Пифагора b = √(c^2 - a^2) = √(35^2 - 28^2) = 21. S = 1/2 * a * b = 1/2 * 28 * 21 = 294.
✅Ответ: 294.
№14
а)
📝Решение
Пусть a, b и c - стороны прямоугольного треугольника, где a = 2, b - катеты и c - гипотенуза. Тогда по т. Пифагора b = √(c^2 - a^2) = √(13 - 4) = 3. S = 1/2 * a * b = 1/2 * 2 * 3 = 3.
✅Ответ: 3.
б)
📝Решение
Пусть a, b и c - стороны прямоугольного треугольника, где a = 1, b - катеты и c - гипотенуза. Тогда по т. Пифагора b = √(c^2 - a^2) = √(17 - 1) = 4. S = 1/2 * a * b = 1/2 * 1 * 4 = 2.
✅Ответ: 2.
№15
а)
📝Решение
AC = BC * tg∠B = 48 * 7/24 = 14; S = 1/2 * AC * BC = 1/2 * 48 * 14 = 336.
✅Ответ: 336.
б)
📝Решение
AC = BC * tg∠B = 30 * 8/15 = 16; S = 1/2 * AC * BC = 1/2 * 30 * 16 = 240.
✅Ответ: 240.
№16
а)
📝Решение
cos∠A = √(1 - sin^2 (∠A)) = √(1 - 1/5) = 2/√5. BC = AB * sin∠A = 2√5 * 1/√5 = 2; AC = AB * cos∠A = 2√5 * 2/√5 = 4. S△ABC = 1/2 * BC * AB = 1/2 * 2 * 4 = 4.
✅Ответ: 4.
б)
📝Решение
cos∠A = √(1 - sin^2 (∠A)) = √(1 / 1/17) = 4/√17. BC = AB * sin∠A = 5√17 * 1/√17 = 5; AC = AB * cos∠A = 5√17 * 4/√17 = 20. S△ABC = 1/2 * BC * AB = 1/2 * 5 * 20 = 50.
✅Ответ: 50.
🟡Уровень B
№1
а)
📝Решение
Длина высоты, проведённой к гипотенузе, равна произведению катетов, деленному на гипотенузу; отсюда высота равна 18*24/√(18^2 + 24^2) = 18*24/30 = 14,4.
✅Ответ: 14,4.
б)
📝Решение
Длина высоты, проведённой к гипотенузе, равна произведению катетов, деленному на гипотенузу. По т. Пифагора второй катет равен √(26^2 - 24^2) = 10; отсюда высота равна 24*10/26 = 120/13.
✅Ответ: 120/13.
№2
а)
📝Решение
Квадрат длины высоты, проведённой к гипотенузе, равна произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу, т.е. BH^2 = AH * HC = 6 * 18 = 108. В △BHA: по т. Пифагора AB = √(AH^2 + BH^2) = √(36 + 108) = √144 = 12.
✅Ответ: 12.
б)
📝Решение
Квадрат длины высоты, проведённой к гипотенузе, равна произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу, т.е. BH^2 = AH * HC = 28 * 7 = 196; BH = √196 = 14.
✅Ответ: 14.
№3
а)
📝Решение
В △BMC по т. Пифагора BC = √((4√10)^2 - 4^2) = √(160 - 16) = √144 = 12. В △ACN по т. Пифагора AN = √(6^2 + 8^2) = 10.
✅Ответ: 10.
б)
📝Решение
В △BMC по т. Пифагора BC = √(73 - 9) = √64 = 8. В △ACB по т. Пифагора AB = √(6^2 + 8^2) = 10. Медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, т.е. CN = AB/2 = 5.
✅Ответ: 5.
№4
а)
а)
📝Решение
Медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, тогда гипотенуза AB = 2 * MC = 2 * 5 = 10. По св-у биссектрисы: биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам, - тогда AK/KB = AC/CB = 4/3. Пусть AC = 4x и CB = 3x; тогда по т. Пифагора AB = √(16x + 9x) = 5x, отсюда
5x = 10
x = 2
Тогда AC = 4x = 8, CB = 3x = 6. S△ABC = 1/2 * 6 * 8 = 24.
✅Ответ: 24.
б)
📝Решение
Медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, тогда гипотенуза AB = 2 * MC = 2 * 13 = 26. По св-у биссектрисы: биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам, - тогда AK/KB = AC/CB = 12/5. Пусть AC = 12x и CB = 5x; тогда по т. Пифагора AB = √(144x + 25x) = 13x, отсюда
13x = 26
x = 2
Тогда AC = 12x = 24, CB = 5x = 10. S△ABC = 1/2 * 24 * 10 = 120.
✅Ответ: 120.
🔴Уровень C
№1
📝Решение
Всего существует 4 варианта расположения точки M, 3 из которых однозначно расположены вне треугольника, поэтому рассмотрим расположение единственной "спорной" точки.
Пусть точки N, K и L середины сторон AC, CB и BA соответственно.
а)
Расстояние от прямой NK до AB равно 5 (т.к. NK - средняя линия, то BK = 1/2 * BC = 1/2 * 10 = 5, а также BK ⊥ AB), тогда точка M лежит на прямой NK. Однако NK = 1/2 * AB = 1/2 * 7 = 3,5 (как средняя линия), а расстояние от точки M до BC равно 4 ⇒ M лежит за точкой N, то есть вне треугольника △ABC.
✅Ответ: вне треугольника.
б)
Расстояние от прямой NL до BC равно (т.к. NL - средняя линия, то BL = 1/2 * AB = 1/2 * 6 = 3, а также BL ⊥ BC), тогда точка M лежит на прямой NL. Однако NL = 1/2 * BC = 1/2 * 13 = 6,5 (как средняя линия), а расстояние от точки M до AB = 6 ⇒ M лежит на отрезке NL, то есть внутри треугольника △ABC.
✅Ответ: вне/внутри треугольника.
№2
📝Решение
Для начала нужно понять где располагается точка M;
а)
Проведём прямую параллельно BC так, что расстояние от прямой до BC равно 20, тогда точка M лежит на данной прямой. Пусть N и L - точки пересечения данной прямой с AC и AB соответственно, отсюда NC = 20 и AN = 12.
△ACB ~ △ANL по двум углам ⇒ AN/AC = LN/BC; отсюда LN = BC * AN/AC = 8 * 12/32 = 3, однако поскольку точка M принадлежит прямой NL, и расстояние от точки M до AC равно LN - расстоянию от точки L до AC, то точки M и L совпадают.
Итак, M лежит на гипотенузе AB. Рассмотрим ∠BAC: по т. о пропорциональных отрезках AM : MB = AN : NC = 3 : 5.
✅Ответ: 3 : 5.
б)
Проведём прямую параллельно AC так, что расстояние от прямой до AC равно 5, тогда точка M лежит на данной прямой. Пусть L и N - точки пересечения данной прямой с AB и AC соответственно, отсюда BN = 1 и NC = 5.
△ACB ~ △NLB по двум углам ⇒ BN/BC = LN/AC; отсюда LN = AC * BN/BC = 24 * 1/6 = 4, однако поскольку точка M принадлежит прямой NL, и расстояние от точки M до AC равно LN - расстоянию от точки L до AC, то точки M и L совпадают.
Итак, M лежит на гипотенузе AB. Рассмотрим ∠ABC: по т. о пропорциональных отрезках AM : MB = CN : NB = 5 : 1.
✅Ответ: 5 : 1.
№3
а)
📝Решение
По св-у биссектрисы BK/KA = BC/AC = 25/1, пусть BK = 25x и KA = x. По т. Пифагора AB^2 = 25^2 - 1 = 624; AB = √624 = 4√39. Отсюда получаем:
26x = 4√39
x = 2√39/13
В прямоуг. △KAC по т. Пифагора CK^2 = (2√39/13)^2 + 1 = 156/169 + 1 = 325/169; CK = √(325/169) = 5√13/13.
✅Ответ: 5√13/13.
б)
📝Решение
По св-у биссектрисы AK/KC = AB/BC = 3/24 = 1/8. Пусть AK = x и KC = 8x. По т. Пифагора AC^2 = 24^2 - 3^2 = 576 - 9 = 567; AC = √567 = 9√7. Отсюда получаем:
9x = 9√7
x = √7
В прямоуг. △KAB по т. Пифагора BK^2 = 3^2 + (√7)^2 = 16; BK = 4.
✅Ответ: 4.
№4
а)
📝Решение
△AHB ~ △BHC по 2-ум углам, отсюда AH/BH = AB/BC, тогда BH * AB = AH * BC = 24. В △AHB по т. Пифагора BH = √(AB^2 - 36). Отсюда получаем:
BH * AB = 24
√(AB^2 - 36) * AB = 24
√(AB^2 - 36) * AB = 24 | возведём в квадрат обе части
(AB^2 - 36) * AB^2 = 576
AB^4 - 36*AB^2 - 576 = 0 | AB^2 = t > 0
t^2 - 36t - 576 = 0
(t - 48)*(t+12) = 0
t = 48
AB = 4√3
В △ABC по т. Пифагора AC^2 = (4√3)^2 + 4^2 = 64; AC = 8. P△ABC = 8 + 4 + 4√3 = 12 + 4√3.
✅Ответ: 12 + 4√3.
б)
📝Решение
△AHB ~ △BHC по 2-ум углам, отсюда BH/CH = AB/CB, тогда BH * BC = 24. В △CHB по т. Пифагора BH = √(BC^2 - 64). Отсюда получаем:
BH * BC = 24
√(BC^2 - 64) * BC = 24 | возведём в квадрат обе части
(BC^2 - 64) * BC^2 = 576
BC^4 - 64*BC^2 = 576 | BC^2 = t > 0
t^2 - 64t - 576 = 0
(t-72)(t+8) = 0
t = 72
BC = 6√2
В △ABC по т. Пифагора AC^2 = (6√2)^2 + 3^2 = 81; AC = 9. P△ABC = 9 + 3 + 6√2 = 12 + 6√2.
✅Ответ: 12 + 6√2.
№5
а)
📝Решение
В △ABM по св-у биссектрисы BL/LM = AB/AM = 4/3. Пусть AB = 4y и AM = 3y, тогда CM = AM = 3y, отсюда AC = 6y. В △BAC по т. Пифагора:
AB^2 + AC^2 = (2√3)^2
16y^2 + 36y^2 = 12
52y^2 = 12
y^2 = 3/13
y = √(3/13)
Тогда S△BAC = 1/2 * 4y * 6y = 12y^2 = 12 * 3/13 = 36/13.
✅Ответ: 36/13.
б)
📝Решение
В △BCM по св-у биссектрисы CL/LM = CB/BM = 8/3. Пусть BC = 8x и BM = 3x, тогда AM = BM = 3x, отсюда AB = 6x. В △BAC по т. Пифагора:
BC^2 - AB^2 = AC^2
64x^2 - 36x^2 = (2√7)^2
28x^2 = 28
x^2 = 1
x = 1
Тогда S△BAC = 1/2 * 6 * 2√7 = 6√7.
✅Ответ: 6√7.