Гении или безумцы? Учёные провели годы в поисках самой бесполезной фигуры

На протяжении веков математики предполагали, что шестиугольные плитки — наилучший способ заполнить пространство. Под этим они подразумевали, что если нужно разделить большую площадь на плитки одинакового размера, минимизируя периметр каждой плитки, ничего лучше шестиугольников не придумать. В 1999 году Томас Хейлз из Питтсбургского университета наконец доказал это. Шестиугольники действительно оказались эффективнее квадратов, треугольников или любых других фигур.

Однако многие фигуры невозможно уложить плиткой без зазоров. Например, круги очевидно не подходят для этой цели. При наилучшей возможной упаковке кругов в шестиугольную форму удастся заполнить лишь около 90,69% плоскости.

В 1920-х годах математики задались вопросом: какую форму сложнее всего упаковать? Другими словами, какая фигура оставляет наибольшие промежутки даже при наилучшем способе упаковки? Новая статья Хейлза и его бывшей аспирантки Кундиньи Ваджхи, ныне инженера Intel, знаменует собой крупный прорыв в решении этой задачи.

Определение наихудшей формы требует соблюдения нескольких правил. Легко придумать произвольно неэффективные формы с отверстиями или углублениями, например, выдолбленные квадраты. С математической точки зрения они не так интересны, поскольку, делая края еще тоньше, можно легко получить форму, которая оставит пустым сколь угодно большую часть пространства. Однако если добавить требование выпуклости формы — то есть если выбрать любые две точки фигуры, отрезок, соединяющий их, должен полностью лежать внутри фигуры — тогда такие пустотелые формы запрещены, и задача становится более интригующей.

Математиков интересуют формы с дополнительным ограничением: центральной симметрией. Без этого условия наихудшей известной формой является правильный семиугольник (заполняющий около 89,27% пространства), хотя математики и близко не могут доказать, что это действительно наихудшая форма. Хейлз и Ваджха работали над более ограниченным и, следовательно, более простым вопросом: какая форма с наихудшей упаковкой является одновременно выпуклой и центрально-симметричной?

В центрально-симметричной фигуре, такой как восьмиугольник (слева), линия, проведенная от центра к краю, будет иметь ту же длину, что и ее отражение через центральную точку. Для семиугольника (справа) это не так.

Изначально математики считали, что это круг. Затем в 1934 году немецкий математик Карл Рейнхардт обнаружил нечто худшее: восьмиугольник со скругленными краями. Когда эти дуги в углах построены с использованием гипербол, общий охват составляет около 90,24%. Разница между этим значением и 90,69% у окружности крошечная, но математически она имеет принципиальное значение.

Рейнхардт не смог доказать, что его закругленный восьмиугольник был самой худшей формой такого рода. Никто другой тоже не смог. “Я всегда считал, что Рейнхардт, вероятно, прав, но теория была создана не для решения этой проблемы”, - сказал Генри Кон, математик из Microsoft Research, известный своими работами по упаковке сфер в более высоких измерениях. “Увидим ли мы когда-нибудь доказательство? Вероятно, не при моей жизни”.

Несколько десятилетий назад Томас Хейлз прославился тем, что доказал, что упаковка может быть наилучшей. Теперь он обратил свое внимание на худшие.

Но наши современники Томас Хейлз и Кундинья Ваджха добились значительного прогресса в решении математической задачи о наихудшей упаковке фигур.

Хейлз, известный своими доказательствами в области упаковки шестиугольников и сфер, обратился к этой задаче в 2007 году. Традиционные методы оказались недостаточными, и он предложил новый подход, основанный на теории оптимального управления.

Кундинья Ваджха, ныне инженер Intel, потратил годы на то, чтобы доказать, что закругленные восьмиугольники - это наихудшая возможная форма для упаковки.

Ваджха присоединился к исследованию в качестве аспиранта. Изначально предполагалось, что работа займет около шести месяцев, но в итоге она растянулась на годы из-за сложности проблемы и множества неожиданных препятствий.

Основная трудность заключалась в необходимости исключить бесконечное количество потенциальных решений, включая так называемые "болтающие" формы, которые бесконечно чередуют прямые и кривые линии.

После пяти лет работы Ваджха вынужден был оставить проект незавершенным. Однако год спустя Хейлз осознал, что они близки к доказательству промежуточной гипотезы, связанной с этой проблемой.

В итоге, спустя шесть лет, они представили 260-страничное доказательство. Хотя работа еще не прошла рецензирование, многие математики уверены в её корректности.

Тем не менее, полное решение проблемы наихудшей упаковки все еще остается недостижимым. Исследователи оставляют открытым вопрос о том, достаточно ли уже имеющихся идей для окончательного доказательства или потребуются новые подходы

Источник: https://www.quantamagazine.org/why-is-this-shape-so-terrible-to-pack-20240628/