Короче, среда! Жабки, котики, размышления о судьбах вселенной и общей философии. Но сегодня у нас, карательная математика. Итак, на арене число g₆₄... Согласен, выглядит неказистенько, да? Но некоторые из моих читателей, печально взмахнули рукой и отписались от канала. Тех, кто с более крепкими нервами или пока не знают, во что ввязывается, начнём постепенно подготавливать.
Итак, как только в школе среди цифр появились буквы, многие поняли, что такое абстракция. Ну да, два яблока и груша — это ещё можно потрогать, а вот различные уравнения — это уже что за нафиг. Типа число 1\x — это чё такое? Где здесь яблоки, груши, компьютеры или хотя бы метры? Очередное осознание собственной никчемности, приходит к человеку в некоем возрасте, когда к абстракциям добавляется осознание того, что нет самого большого числа. Всегда можно добавить подлое +1 и сказать — а вот же оно, у меня получилось число больше, чем твой секстиллион миллиардов миллионов в степени гугол! Осознав эти два факта (а если ещё вы поймёте, как одна бесконечность может быть больше другой, то вообще замечательно), многие относятся к математике не как к царице наук, а как к чему-то, где важно только помнить стоп-слово и вовремя слинять. Но внезапно, из непонятной чёрной дыры разума, где властвуют абстрактные «бесконечность, в степени бесконечность +1», вылазят числа, которые имеют смысл. И весь ужас заключается в том, что они существуют. Прямо ощущаю ваше непонимание. Но давайте так.
1000 — число которым мы оперируем постоянно. Чем миллион отличается от миллиарда — ну, примерно тоже представляем, хотя и с трудом. Вы же в курсе, что миллион секунд — это 11 дней, а миллиард секунд — 32 года? Можете остановиться и подумать. Подумали, а теперь назовём границей бытового смысла число триллион (317 веков если брать в секундах). Оно хоть иногда попадает в телевизоре или новостях (обычно в финансовой их части). Чтобы было понятно — вот оно 10¹². Наверняка вы встречали так называемую научную нотацию, которая означает, сколько нулей идёт после единицы. Ну вот 100 = 10², то есть здесь два нуля после еденицы. Следовательно, граница бытового смысла у нас проходит на числе с 12 нулями. Большее количество чего-то измеряемого людям не особо и нужно. Им песчинки на пляже считать не надо. Удивились один раз госдолгу США в новостях и хватит.
Теперь подойдём поближе к опасным джунглям, где обитают жуткие существа. Давайте посмотрим на другие числа, которые хоть что-то значат. Вот хороший вариант — примерное количество песчинок на земле 10²¹ (кстати, это — секстиллион). 10⁸⁰ — столько элементарных частиц в обозримой вселенной (той части, которую мы можем изучить с помощью приборов). Но идём дальше. Знаменитый гугол ни для чего особо не нужен, кроме знания, что в его честь назвали корпорацию Гугл. И он просто красиво записывается 10¹⁰⁰, то есть единица с сотней нулей. И наконец, вот вам хоть что-то, способное быть границей разумного смысла 10¹⁸⁵. Это не случайно взятое число. По мнению учёных, именно столько в нашей обозримой вселенной содержится самых маленьких единиц измерений (планковский объём). То есть чего-то, что уже сложно разделить на меньшие части. Саааааамый маленький кубик. Или если привести проще — то, сколько «ЧЕГО-ТО», что человек способен посчитать вообще. То есть к этому числу уже не получится добавить +1 планковский объём, ведь он вывалится за границы вселенной, которую мы знаем и в которой всё уже подсчитано. А чтобы нагнать немного объёма — вот так выглядит это число: 100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000.
Пока не очень страшно, если не задумываться? Это всего лишь символы. Ладно, вот вам ещё одно число, которое многие считают «самым большим». Гуголплекс (звучит прямо, вообще здорово). Это десять в степени гугол (который, в свою очередь, является 10¹⁰⁰). То есть число, после которого идёт охрененное количество нулей. И вы даже не можете себе представить, насколько оно большое. Чтобы просто записать все нули, которые идут после 1, нам понадобится... вся обозримая вселенная, при условии, что мы будем писать очень мелко — буквально по одной цифре в единицу планковского объёма. Антракт на осознание.
Надеюсь, вы не свернули себе мозг, пытаясь представить, как выглядит записанный гуголплекс. Ещё раз предупрежу — это число ничего не значит. Оно просто есть и называется красиво. Но я вначале говорил, что есть числа, которые что-то означают. И продолжаем обсуждать наше g₆₄. У него существует реальное применение. Оно звучит так: «решение некой комбинаторной задачи лежит в пределах от 13 до этого числа». Кстати, математики не зря едят свой хлеб, раньше ответ был «от 6 до g₆₄», а сейчас вот опять значительно сократили разрыв и сделали всего лишь от 13 до 9↑↑↑4 (потом поймёте). Но нас интересует именно первоначальное решение задачи. Такое неказистое образование широкой публике известно, как число Грэма! Сейчас, что-то обозначающие в науке величины, есть и побольше. Например, «Райо». Но именно наш герой, благодаря знаменитому популяризатору математики Гарднеру в конце 1970-х сломал множество мозгов. Число стало для «царицы наук» таким... попсовым. Вошло в книгу рекордов Гинесса. Пробегает в обзорах всяких околонаучных людей (типа вот меня). И особого интереса для математики уже не представляет. Разве что пугать мимокрокодилов. Чтобы те со стороны взглянули на него, вывихнули мозг, сказали «ну нехера же себе у вас проблемы» и быстро свалили туда, где их разум не собирается покидать пределы черепа.
Короче, продолжаем. Итак, возможно, вы отошли от числа гуголплекс. Немного отвлечёмся и перейдём в философско-практический образ мыслей. На самом все математические действия можно довольно просто разложить. Вот смотрите. Действие первое — сложение. С ним всё просто 2+1=3. Но умножение — это, по сути, повторение сложения. Так 3×3 означает, что мы тройку складываем три раза — 3+3+3. Или 5×4 = 5+5+5+5. Надеюсь, пока понятно. Ведь дальше идет возведение в степень. То, сколько раз умножаем число. 5³ означает, что число 5 мы умножаем само на себя 3 раза: 5×5×5. Пока понятно. И тут, знаменитый математик и информатик Дональд Эрвин Кнут, сварганил свою нотацию. Для начала сделал значок для возведения в степень — ↑ (да, это стрелка вверх, но, возможно, вам привычнее вид крыжика ^). Значит, я всегда смогу записать 3³ как 3↑3, а границу здравого смысла 10¹⁸⁵ как 10↑185. Мы возводим число 10 в степень 185. И казалось бы, меняем шило на мыло. Вместо записи наверху пишем число через крыжи... стрелочку. Но внезапно врывается удобная вещь, вокруг которой Кнут построил нотацию. Теперь есть возможность делать повторяющиеся действия.
Узрите: 3↑↑3. Эта штука называется тетрация и означает на самом деле простую вещь. Сколько раз число мы возводим в степень. Не в какую, а сколько раз мы это делаем. То есть 3↑↑3 = 3↑3↑3. Или 3↑33 = 3³³. Можно выдохнуть... вроде бы. Пока цифры нестрашные. Но это обманчивое явление. Ведь смотрите 4↑4 = 4⁴ = 256, а вот уже 4↑↑4 получается 4↑4↑4↑4 или 4↑4↑256. И уже эта величина уделывает по объему гуголплекс (он равен 10↑10¹⁰⁰, а 4↑↑4 = 10↑10¹⁵⁴). Короче, эта штука выглядит как башня. Нет серьёзно, башня — специальный термин, означающий, сколько раз число возводится в степень. Если просто: X↑↑Y значит, что мы делаем X↑X, Y раз. Нам нужно Y раз записать число выше и немного правее. Каждый этаж башни — это следующая степень. И вот наша башня состоит из Y этажей. Ладно, вон на картинке я примерно это объяснил.
А теперь, внезапный поворот. Познаём силу стрелочек. Пентация — действие, которое идёт после тетрации. То есть значков ↑ у нас уже не два, а три! И здесь начинаются проблемы для понимания. Сосредоточились. Готовы? 2↑↑↑3 = 2↑↑2↑↑2 или 2↑2↑16, что равно 10⁶⁵⁵³⁶. Вроде бы и не особо страшно. Не гуголплекс же. Вот вам ещё задание: подсчитать 4↑↑↑4 или 4↑↑4↑↑4↑↑4. То есть мы уже на первом действии получаем число, которое надо возвести в степень 4↑4↑256. А вы помните, что оно больше гуголплекса? А это ведь не последнее действие. Слышите звук того, как ваш хрустальный замок простоты разрушен и втоптан в грязь. Ведь, вы только осознайте... Это получается, что число 4 надо возвести в башню, состоящую из количества этажей, которое больше гуголплекса (человеческий разум осознать просто не может, а записать, к сожалению, технической возможности нет). Нет. Ещё раз. Не в саму степень из гуголплекса, это было бы слишком просто. Это... означает... количество... этажей башни. Представьте, если мы возьмём размер цифры в миллиметр, чтобы только записать строчку из четвёрток, уходящую вверх и немного вправо, нам нужно будет покрыть всё расстояние от одного края Обозримой вселенной до другого... и плюс ещё 124 таких же длин. Какое там у вас стоп-слово было?
Так, теперь, я думаю, вы поняли мощь стрелочек? Каждая ↑ — это повторение предыдущей конструкции в нужном количестве раз. Ну как умножение — это повторение сложения, степень — это повторение умножения, а тетрация — это повторение возведения в степень. Так. Готовы к очередному насилию над мозгом? Чтобы стало полегче, возьмём число 3, тем более что оно как раз участвует в решении той самой задачи, где фигурирует наше, казавшееся скромным число g₆₄. Итак, добавим ещё одну стрелочку. 3↑↑↑↑3. То есть 3↑↑↑3↑↑↑3. Отлично. Пока не страшно. Но, попытаемся представить, чему у нас равно 3↑↑↑3 и будем готовы пойти к котикам и жабкам, ведь осознать такое в среду (как и в любой другой день) человеческому мозгу категорически невозможно. Но котожабки — путь слабых. Я верю в мощь вашего интеллекта. 3↑↑↑3 это величина, где башня, состоящая из троек, имеет 7 625 597 484 987 этажей. Если записывать цифру в один миллиметр, чтобы нарисовать башню целиком нам нужно лист бумаги примерно... в 8 миллионов км. Как-то так: 3↑↑↑3 = 3↑↑3↑↑3 = 3↑↑(3↑3↑3) = 3↑3...↑3 (3 в количестве 3↑3↑3 или те самые 7 625 597 484 987 штук). Для простоты я буду называть его Охрененно Большое Число (ОБЧ) А теперь, представьте, что будет с 3↑↑↑↑3. Разложим его по полочкам. (((3 в степени 7 625 597 484 987) в степени ОБЧ) в степени «ОБЧ в степени ОБЧ»). Воооот. Как мог, смягчал для вас этот переход и наверняка где-то напутал (чат зануд! На помощь!). И вот перед нами... нет, не число Грэма. Это лишь ма-а-а-а-а-аленькая зарубинка на нём. Знакомимся, g₁. Вот оно и есть 3↑↑↑↑3.
Где-то вы его видели? Да, то самое, которое я уже пару раз упомянул в тексте. Итак, мы поняли, что g₁ это охренеть как много. Прямо... ну убиться какая величина. В качестве бонуса — мы осознали силу стрелочек. Каждая следующая ↑ — билет для нас в районы, где живут драконы и люди с пёсьими головами, или куда подальше. А теперь, готовьтесь. На арену выходит число, которого вы здесь совсем не ждали. g₂ Знаете как такая штука образовалось? Оно равняется 3↑...↑3. Символ «...» означает количество стрелок между двумя тройками. Нет, не 3↑ (3↑3↑3↑3↑3... и так далее), а просто ↑. Это выглядит вот так: 3↑↑↑↑↑↑↑↑. многомногострелочек.↑↑↑↑↑3. И знаете чему равно это количество стрелок? Да, вы догадались. Числу g₁. Ещё раз — это только сколько нам надо записать стрелок между тройками. То есть, оно равно тому самому числу, для обычной записи которого нам не хватит вселенной. И здесь оно означает просто количество символов ↑. Просто попробуйте осознать. Я подожду.
Дошла до вас ничтожность гуглоплекса и своей фантазии? На самом деле, дальше пойдёт проще и уже не так фантасмагорично. В числе g₃ количество стрелок равно числу g₂. В g₄ количество стрелок равно g₃ и так далее. Вплоть до того самого 64 в очереди. И вот это уже число Грэма. Такая маленькая, скромная нотация для неподъёмного, неосознаваемого значения. Понятно, что это всего лишь абстракция.
Но вдумайтесь в то, как прекрасен человеческий мозг (неожиданный переход, да?). Наш разум может оперировать тем, что совершенно не имеет смысла в реальной жизни, где нам бы хотелось купить вкусный сырок, или найти где бы спастись от жары. Человек способен осознать такие огромные вещи, которые просто неподвластны человеку физически. И знаете что? Люди давно уже обошли эту попсятину (я про g₆₄). И дело даже не в том, что есть куда большие научно-полезные числа. Математики продолжают находить новые способы для записи крупных значений, с помощью других методов. Да, нотация Кнута используется широко, но число Грэма доказало, что в некоторых случаях она тоже уже не справляется. И люди, просто так, на будущее, в качестве гимнастики для мозгов придумали иные нотации, а вдруг пригодятся? Но это, уже, наверное, будет другой рассказ.
----
Тут обязательная просьба поставить лайк и подписаться. Собираюсь писать еще о многом интересном. А еще у меня есть телеграм-канал: Массаракш Наизнанку. Там подобные статьи появляются раньше, но без подробностей. А еще там бывают всякие новости.