Введение.
Всем привет! Я тут подумала хорошо будет поделиться своими решениями по питону! Пожалуйста подпишитесь на мой канал про мою жизнь в МГУ "Варечка Окаянная")))
1. Оператор $A$ действует из пространства $C[0,1]$ в пространство $C^1[0,1]$, сопоставляя каждой функции из $D(A)=C^1[0,1]$ её саму: $A(y)(x) = y(x)$. Укажите верное утверждение об операторе $A$.
Выберите один ответ:
\begin{enumerate}
\item не знаю
\item $A$ ограниченный, но не вполне непрерывный
\item $A$ не ограниченный и не вполне непрерывный
\item $A$ ограниченный и вполне непрерывный
\item $A$ неограниченный, но вполне непрерывный
\end{enumerate}
Правильный ответ:
$A$ ограниченный и вполне непрерывный.
не ограниченный и не вполне непрерывный
2. В пространстве $h[0,1]$ рассматривается единичный оператор $A$ (сопоставляющий каждой функции её саму). Укажите верное утверждение об операторе $A$.
Выберите один ответ:
\begin{enumerate}
\item Не знаю.
\item $A$ не ограничен и не вполне непрерывен.
\item $A$ неограничен, но вполне непрерывен.
\item $A$ ограничен и вполне непрерывен.
\item $A$ ограничен, но не вполне непрерывен.
\end{enumerate}
Правильный ответ:
$A$ ограничен, но не вполне непрерывен.
3. Является ли функциональная последовательность $\{x^n\}$ ограниченной в $h[0,1]$?
Выберите один ответ:
\begin{enumerate}
\item Да
\item Не знаю
\item Нет
\end{enumerate}
Правильный ответ:
Да
4. Является ли функциональная последовательность $\{x^n\}$ ограниченной в $C[0,1]$?
Выберите один ответ:
\begin{enumerate}
\item Да
\item Нет
\item Не знаю
\end{enumerate}
Правильный ответ:
Да
5. Может ли последовательность $y_n$ в нормированном пространстве быть сходящейся, но не компактной?
Выберите один ответ:
\begin{enumerate}
\item Не знаю
\item Да
\item Нет
\end{enumerate}
Правильный ответ:
Нет.
6. Является ли функциональная последовательность \(y_n(x) = x^n\) компактной в пространстве \(h[0,1]\)?
Выберите один ответ:
\begin{enumerate}
\item Да
\item Нет
\item Не знаю
\end{enumerate}
Правильный ответ:
Да
7. Является ли функциональная последовательность \(y_n(x) = \sin(nx)\) компактной в пространстве \(h[0, \pi]\)?
Выберите один ответ:
\begin{enumerate}
\item Нет
\item Да
\item Не знаю
\end{enumerate}
Правильный ответ:
Нет
8. Может ли последовательность в нормированном пространстве быть ограниченной, но не компактной?
Выберите один ответ:
\begin{enumerate}
\item Не может ни в каком нормированном пространстве.
\item Не знаю, прошу подсказку.
\item Может только в бесконечномерном нормированном пространстве.
\item Может только в конечномерном евклидовом пространстве $E^n$.
\item Может в произвольном нормированном пространстве.
\end{enumerate}
Правильный ответ:
Может только в бесконечномерном нормированном пространстве.
9. Может ли последовательность в нормированном пространстве быть компактной, но не ограниченной?
Выберите один ответ:
\begin{enumerate}
\item Может только в бесконечномерном нормированном пространстве.
\item Может только в конечномерном нормированном пространстве.
\item Может в произвольном нормированном пространстве.
\item Не знаю, прошу подсказку.
\item Не может ни в каком нормированном пространстве.
\end{enumerate}
Правильный ответ:
Не может ни в каком нормированном пространстве.
10. Является ли последовательность $y_n$ в пространстве $h[0,\pi]$, где $y_n(x) = (1 + (-1)^n) \sin(nx)$, компактной?
\begin{enumerate}
\item Не знаю
\item Да
\item Нет
\end{enumerate}
Правильный ответ:
Нет
11. Является ли функциональная последовательность $y_n(x) = x^n$ в пространстве $C[0,1]$ компактной?
\begin{enumerate}
\item Да
\item Не знаю
\item Нет
\end{enumerate}
Правильный ответ:
Нет
12. Среди перечисленных уравнений укажите все неоднородные интегральные уравнения Фредгольма 2-го рода с симметрическим оператором.
Выберите один или несколько ответов:
\begin{enumerate}
\item $y(x) = \lambda \int_{0}^{x} \sin(x+s)y(s) \, ds + \cos x, \quad x, s \in [0, \pi]$
\item $\int_{0}^{\pi} \sin(x-s)y(s) \, ds + \sin x, \quad x, s \in [0, \pi]$
\item $y(x) = \lambda \int_{0}^{\pi} \sin(x-s)y(s) \, ds + \sin x, \quad x, s \in [0, \pi]$
\item $y(x) = \lambda \int_{1}^{4} \sinh(x+s)y(s) \, ds + e^x, \quad x, s \in [1, 4]$
\item $y(x) = \lambda \int_{0}^{10} x^3 s^2 y(s) \, ds, \quad x, s \in [0, 10]$
\item $y(x) = \lambda \int_{0}^{\pi} \cos(x-s)y(s) \, ds + \sin x, \quad x, s \in [0, \pi]$
\item $y(x) = \lambda \int_{0}^{x} |x-s|y(s) \, ds + 5x$
\end{enumerate}
Правильные ответы:
$y(x) = \lambda \int_{1}^{4} \sinh(x+s)y(s) \, ds + e^x, \quad x, s \in [1, 4]$
$y(x) = \lambda \int_{0}^{\pi} \cos(x-s)y(s) \, ds + \sin x, \quad x, s \in [0, \pi]$
13. Пусть $\{y_n\}$ — ограниченная последовательность в бесконечномерном нормированном пространстве $N$, $A$ — вполне непрерывный оператор, действующий в этом пространстве. Что можно утверждать в данном случае?
Выберите один или несколько ответов:
\begin{enumerate}
\item $\{y_n\}$ сходится.
\item $\{y_n\}$ компактна, $\{Ay_n\}$ сходится.
\item $\{Ay_n\}$ сходится.
\item $\{Ay_n\}$ компактна.
\item $\{y_n\}$ сходится, $\{Ay_n\}$ компактна.
\end{enumerate}
Правильный ответ:
$\{Ay_n\}$ компактна.
14. Оператор, сопряжённый к оператору $A: y(x) \mapsto \int_{0}^{10} e^{x-s} y(s) \, ds$, действующему в пространстве $h[0,10]$, имеет вид:
Выберите один ответ:
\begin{enumerate}
\item $\int_{0}^{10} \ln|x-s| y(s) \, ds$
\item $\int_{0}^{10} e^{-x+s} y(s) \, ds$
\item $\int_{0}^{10} e^{x-s} y(s) \, ds$
\item $\int_{0}^{10} e^{x+s} y(s) \, ds$
\item $-\int_{0}^{10} e^{x-s} y(s) \, ds$
\end{enumerate}
Правильный ответ:
$\int_{0}^{10} e^{-x+s} y(s) \, ds$.
15. Рассмотрим в пространстве $C[0,\pi]$ линейный оператор $A = \frac{d}{dx}$,где $D(A)$ состоит из всех непрерывно дифференцируемых на отрезке $[0,\pi]$ функций. Является ли оператор $A$ ограниченным, взаимно однозначным?
Выберите один ответ:
\begin{enumerate}
\item $A$ ограниченный, не взаимно однозначный.
\item $A$ ограниченный, взаимно однозначный.
\item $A$ не ограниченный, взаимно однозначный.
\item $A$ не ограниченный, не взаимно однозначный.
\end{enumerate}
Правильный ответ:
$A$ не ограниченный, не взаимно однозначный.
16. Является ли данный интегральный оператор симметрическим в пространстве $C[0, \pi]$:
$$
A:y(x) \mapsto \int_{0}^{\pi} \cos(x - s) y(s) \, ds?
$$
Выберите один ответ:
\begin{enumerate}
\item Вопрос лишён смысла.
\item Нет.
\item Да.
\item Не знаю, прошу подсказку.
\end{enumerate}
Правильный ответ:
Вопрос лишён смысла.
17. Является ли данный интегральный оператор симметрическим в пространстве $h[0,\pi]$:
\[ A:y(x) \mapsto \int_{0}^{\pi} \cos(x-s) y(s) \, ds? \]
Выберите один ответ:
\begin{enumerate}
\item Не знаю, прошу подсказку.
\item Вопрос лишён смысла.
\item Нет.
\item Да.
\end{enumerate}
Правильный ответ:
Да.
18. Вопрос: Является ли данный интегральный оператор симметрическим в пространстве $C[0, \pi]$:
\[ A:y(x) \mapsto \int_{0}^{\pi} \sin(x - s) y(s) \, ds? \]
Выберите один ответ:
\begin{enumerate}
\item Нет
\item Да
\item Вопрос лишён смысла
\item Не знаю, прошу подсказку
\end{enumerate}
Правильный ответ:
Вопрос лишён смысла.
19. Найти норму оператора умножения на независимую переменную \[ A: y(x) \mapsto xy(x), \] действующего в пространстве \(C[0,10]\).
Выберите один ответ:
\begin{enumerate}
\item Не знаю, прошу подсказку.
\item \(\|A\| = \frac{1}{10}\).
\item \(A\) является неограниченным.
\item \(\|A\| = 1\).
\item \(\|A\| = 10\).
\end{enumerate}
Правильный ответ:
\(\|A\| = 10\).
20. Найти норму линейного оператора \(A: h[0,1] \rightarrow \mathbb{R}\), заданного формулой \[ A y = \int_{0}^{1} x^4 y(x) \, dx. \]
Выберите один ответ:
\begin{enumerate}
\item Задача лишена смысла.
\item \(\|A\| = \frac{1}{9}\).
\item \(A\) является неограниченным.
\item \(\|A\| = \frac{1}{\sqrt{3}}\).
\item Не знаю, прошу подсказку.
\item \(\|A\| = \frac{1}{3}\).
\end{enumerate}
Правильный ответ:
\(\|A\| = \frac{1}{3}\).
21. Рассмотрите линейный оператор
\begin{enumerate}
\item $A = \frac{d}{dx}, A: C^1[0, \pi] \rightarrow C[0, \pi]$.
\end{enumerate}
Является ли этот линейный оператор ограниченным, взаимно однозначным?
Выберите один ответ:
\begin{enumerate}
\item $A$ не ограниченный, не взаимно однозначный.
\item $A$ ограниченный, взаимно однозначный.
\item $A$ не ограниченный, взаимно однозначный.
\item $A$ ограниченный, не взаимно однозначный.
\end{enumerate}
Правильный ответ:
$A$ ограниченный, не взаимно однозначный.
22. Из перечисленных утверждений выделите все верные.
Выберите один или несколько ответов:
\begin{enumerate}
\item Всякий вполне непрерывный линейный оператор ограничен.
\item В любом нормированном пространстве единичный линейный оператор $I$ вполне непрерывен.
\item Всякий вполне непрерывный линейный оператор переводит компактную последовательность в компактную.
\item Всякий ограниченный линейный оператор переводит ограниченную последовательность в компактную.
\item В любом нормированном пространстве единичный линейный оператор $I$ ограничен.
\item Всякий вполне непрерывный линейный оператор переводит ограниченную последовательность в компактную.
\item Всякий ограниченный линейный оператор вполне непрерывен.
\end{enumerate}
Правильные ответы:
В любом нормированном пространстве единичный линейный оператор $I$ ограничен., Всякий вполне непрерывный линейный оператор ограничен., Всякий вполне непрерывный линейный оператор переводит ограниченную последовательность в компактную., Всякий вполне непрерывный линейный оператор переводит компактную последовательность в компактную.
23. Из перечисленных утверждений выделите все верные.
Выберите один или несколько ответов:
\begin{enumerate}
\item Всякий вполне непрерывный линейный оператор переводит ограниченную последовательность в ограниченную.
\item Всякий ограниченный линейный оператор переводит компактную последовательность в компактную.
\item Всякий ограниченный линейный оператор переводит компактную последовательность в ограниченную.
\item Всякий ограниченный линейный оператор переводит ограниченную последовательность в ограниченную.
\end{enumerate}
Правильные ответы:
Всякий ограниченный линейный оператор переводит компактную последовательность в ограниченную., Всякий ограниченный линейный оператор переводит ограниченную последовательность в ограниченную., Всякий вполне непрерывный линейный оператор переводит ограниченную последовательность в ограниченную., Всякий ограниченный линейный оператор переводит компактную последовательность в компактную.
Спасибо!
Телеграмм Свалка астронома Ai 🦄 MSU
Телеграмм Варечкин Блокнот 🌸 MSU
ВК Школа https://vk.com/mgu_gdz Физиув UwU
Дзен https://dzen.ru/varechka_uni_physics