Что такое векторы в геометрии?

Давайте разберем, что такое векторы в геометрии, и сделаем это последовательно и на пример

Определение вектора.

Вектор — это направленный отрезок, который имеет начало и конец. Вектор характеризуется двумя основными свойствами: длиной (или модулем) и направлением.

Пример. Представьте, что вы идете из точки 𝐴 в точку 𝐵. Вектор 𝐴𝐵→ будет представлять ваше перемещение. Точка 𝐴 — это начало вектора, а точка 𝐵 — его конец.

Обозначение векторов.

Векторы обычно обозначаются маленькими латинскими буквами с стрелочкой сверху, например, 𝑎→, или двумя большими буквами с стрелочкой, например, 𝐴𝐵→.

Пример. Вектор 𝐴𝐵→ можно обозначить как 𝑎→.

Длина вектора.

𝐴𝐵→ — это расстояние между точками 𝐴

 и 𝐵. Обозначается как |𝐴𝐵→|.

Пример. Если 𝐴 имеет координаты (1; 2), а 𝐵 — (4; 6), то длина вектора 𝐴𝐵→ вычисляется по формуле:

|𝐴𝐵→| = √((4−1)^2+(6−2)^2) = √(3^2+4^2)=√(9+16)=√25=5

Направление вектора определяется углом, который он образует с осью координат, или просто направлением от начальной точки к конечной.

Пример: Вектор 𝐴𝐵→ направлен от точки 𝐴

 (1; 2) к точке 𝐵 (4; 6). Это направление можно описать как "вверх и вправо".

Координаты вектора.

Вектор в координатной плоскости можно задать координатами. Если 𝐴(𝑥1; 𝑦1) и 𝐵(𝑥2; 𝑦2), то координаты вектора 𝐴𝐵→ будут (𝑥2−𝑥1,𝑦2−𝑦1).

Пример. Для точек 𝐴(1; 2) и 𝐵(4; 6) координаты вектора 𝐴𝐵→ будут:

𝐴𝐵→=(4−1; 6−2)=(3; 4)

Сложение и вычитание векторов.

Векторы можно складывать и вычитать. Сложение векторов 𝑎→ и 𝑏→ выполняется по правилу параллелограмма или треугольника.

Пример. Пусть 𝑎→=(2; 3) и 𝑏→=(1; 4). Тогда сумма векторов 𝑎→+𝑏→ будет:

𝑎→+𝑏→=(2+1; 3+4)=(3; 7)

Умножение вектора на число.

Вектор можно умножить на число (скаляр). Если 𝑘 — число, а 𝑎→=(𝑥; 𝑦), то 𝑘⋅𝑎→=(𝑘⋅𝑥; 𝑘⋅𝑦).

Пример. Пусть 𝑎→=(2; 3) и 𝑘=2. Тогда 

2⋅𝑎→=(2⋅2; 2⋅3)=(4; 6).

Применение векторов.

Векторы широко используются в геометрии для решения различных задач, таких как нахождение расстояний, углов, проекций и т.д.

Пример. Найдите угол между векторами 

𝑎→=(1; 0) и 𝑏→=(0; 1). Эти векторы перпендикулярны, и угол между ними равен 90 градусам.

Векторы — это мощный инструмент в геометрии, который позволяет решать множество задач, связанных с направлением и расстоянием. Понимание векторов и умение работать с ними — важный навык для успешного изучения геометрии и других разделов математики