Мы узнаем новый способ нахождения квадратного корня нечетного числа.
Занимаясь простыми числами, я случайно увидел закономерность квадратов для нечетных чисел. Прям лаборатория циферок получилась.
И так в предыдущем…
… но вот, что я удумал, оказывается и если присмотреться, то и показывается, что квадраты нечетных чисел можно записать в следующей последовательности
9 = 8*(1) + 1
25 = 8*(1+2) + 1
49 = 8*(1+2+3) +1
81 = 8*(1+2+3+4) + 1
В общем получаем последовательность 8*(1+2+3+…m) + 1, где m – индекс нечетного числа, совпадающий с 2m+1. Вот оказывается, где квадраты нечетных чисел спрятались…
8*(1+2+3+…m) + 1 = (2m+1) ^2
И тут началось.
Решил я использовать СВОЮ (не тырил я, Андрюша молодец сам придумал) данную формулу для нахождения квадратных корней нечетных чисел.
Например, возьмем 10 001 и применим к ней нашу формулу.
8*(1+2+3+…+m) + 1 = 10 001,
уберем единички, для этого каждую часть уменьшим на 1
8*(1+2+3+…+m) = 10 000,
разделим на 8 каждую часть выражения
(1+2+3+…+m) = 1 250,
последовательно из 1 250 будем вычитать нашу сумму, сначала один, потом двоечка, затем троечка и т.д. и получим, что m = 49 и ещё есть остаток 25. Почему именно так, а дело в том, что каждое последующее число должно быть больше предыдущего на 1, но в данном случае после 49 у нас осталось 25.
И так можно записать из полученного
8*(1+2+3+…+49 + 25) + 1 = 10 001,
в сторонку уберем пока 25, для этого выводим 25 из скобок, получаем
8*(1+2+3+…+49) + 1 + 8*25 = 10 001 (помним m = 49)
Зная, что 2m+1 есть нечетное число, получим 2m+1 = 2*49 + 1 = 99, тогда можем записать
99^2 + 8*25 = 10 001, проверяем 9801 + 200 = 10 001, ага работает!
Получается, что с помощью формулы можем довольно легко и понятно найти максимальный квадрат целого нечетного содержащиеся в числе.
Стал кумекать, что делать с остатком 8*25 и придумал, а что, если и с ним через нашу формулу поглумиться.
8*25 = 8*(1+2+3+4+5+6+4), для понимания, для разложения числа 25 в ряд, я последовательно от 25 отнял 1, затем 2 и т.д., получил в итоге остаток 4.
Такс значит тут m = 6, ого да мы можем опять получить простое число 2*m + 1 = 2*6 + 1 = 13 и подставить в формулу.
8*25 = 8*(1+2+3+4+5+6+4) = 8*(1+2+3+4+5+6) + 8*4 = 8*(1+2+3+4+5+6) + 1 + 8*4 -1 = 13^2 + 8*4-1.
Опять 8*4, с ней, что делать.
А давай, её по нашей формуле.
8*4 = 8*(1+2+1), из данного преобразования мы находим m= 2 или применяя 2*m + 1 = 2*2 + 1 = 5, получим, что 8*4 = 8*(1+2+1) = 8*(1+2) + 8*1 = 8*(1+2) + 1 + 8*1 -1 = 5^2 +8-1
И собирая все наши преобразования получим
10 001 = 99^2 + 13^2 + 5^2 + 8 – 1 – 1 = 99^2 + 13^2 + 5^2 + 6
Да ладно, песня какая-то, красиво получилось, преобразовать число в сумму максимальных квадратов нечетных чисел, правда остаток есть, но не беда.
Почему остаток 6, потому что, максимальное квадратное число из нечетного 2*1+1 = 3, будет 9. И то, что будет меньше 9 то будет как остаток.
Важное дополнение, в решение по поиску было предложено после уменьшения числа на единицу делить на 8, в большинстве случаев будет не целое число, здесь можно идти двумя способами:
1. Преобразовать число на сумму, одно делиться на 8 другое будет остаток от деления, например число 17 лучше представить как 16 + 1 и продолжить изыскание.
2. Другой способ без деления, но с умножением. Пропускаем деление на 8 и от искомого числа вычитаем 8*1, затем 8*2, потом 8*3 и т.д. до 8*mи приходим к остатку. Если остаток будет 1, то проверяемое число есть квадрат от 2m+1.
А если есть остаток, то на Ваше усмотрение, что с ним делать
А теперь в студию просьбу….
Посмотрите и по экспериментируйте, может какую ни будь, трудную и до сих пор не решаемую задачу удастся решить.
Ну на этом хорош, на экспериментировался (а это слово вообще читаемо) и всем до встречи… с моей кукухой 😊.