Многие считали Джона Фон Неймана одним из самых блестящих умов двадцатого века. По сообщениям, у него был IQ 180. Он был пионером теории игр, которая была очень важна во время гонки ядерных вооружений. Он также был одним из двух людей (помимо Алана Тьюринга), которым приписывают роль создателей современного компьютера.
История гласит, что кто-то однажды поставил перед Фон Нейманом следующую задачу:
Два поезда, находящиеся на расстоянии 20 миль друг от друга на одном пути, движутся навстречу друг другу со скоростью 10 миль в час. В то же время пчела вылетает из носа одного поезда со скоростью 20 миль в час по направлению к другому поезду. Как только пчела достигает другого поезда, она отталкивается от него и уносится со скоростью 20 миль в час обратно к первому поезду. Это продолжается до тех пор, пока поезда не сталкиваются, убивая пчелу.
Вопрос в том, какое расстояние успеет пролететь пчела?
Ключевой момент в том, что пчела летит в два раза быстрее поездов, и на каждом этапе преодолевает две трети оставшегося между поездами расстояния.
Это приводит к тому, что каждый следующий этап полета становится в три раза короче предыдущего. Расстояние, пройденное пчелой на n-м этапе, выражается формулой:
dn = 2D / 3^n
где D - начальное расстояние между поездами.
Такая последовательность образует бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем 1/3. Общее расстояние, пройденное пчелой после n этапов, выражается суммой:
d'n = 2D * (1/3 + 1/3^2 + ... + 1/3^n)
Сумма этой прогрессии при бесконечном числе членов имеет конечный предел.
После математических преобразований и применения формулы суммы бесконечной геометрической прогрессии получается:
d = D * (1 - 1/3^∞) = D
То есть общее расстояние, пройденное пчелой, стремится к начальному расстоянию между поездами. Несмотря на бесконечное число перелетов, пчела пролетит конечное расстояние, равное исходному расстоянию между поездами - 20 миль.
Этот результат может показаться парадоксальным, но он логически следует из условий задачи и свойств геометрической прогрессии.
Ловушка математика
Мы только что решили эту проблему методом бесконечных рядов. Причина, по которой эта проблема называется "ловушкой математика", заключается в том, что практически все математики будут пытаться решить ее так, как это только что сделали мы.Однако, если бы вы поручили задачу кому-то, кто знает только основы алгебры, он мог бы решить ее по-другому. Поезда терпят крушение на полпути (в 10 милях). Поскольку каждый поезд движется со скоростью 10 миль в час, это занимает один час. В течение того же часа пчела летит со скоростью 20 миль в час, следовательно, она пролетает 20 миль! Вау, это было намного проще!
Фактически, в общем случае, пока скорости двух поездов в сумме равны скорости пчелы, расстояние, пройденное пчелой, всегда будет равняться начальному разделению поездов, т.е. d = D. Вы можете убедиться в этом в следующем мысленном эксперименте. Поскольку скорости поездов, сложенные вместе, равны скорости пчелы, в любой данный момент времени расстояние, пройденное двумя поездами вместе, равно расстоянию, пройденному пчелой. Это означает, что в любой данный момент времени доступное пространство для полета равно тому, каким было бы оставшееся расстояние, если бы пчела беспрепятственно летела из точки A в точку B. Следовательно, d = D.
Мораль этой истории в том, что иногда ум и образование могут поставить вас в невыгодное положение. Когда кто-то обучен делать что-то определенным образом, он делает это практически автоматически. Требуется большая проницательность, чтобы суметь "выйти за рамки" и спросить, есть ли более простой способ сделать это.
Когда перед Нейманом была поставлена вышеупомянутая задача (или какой-то ее вариант), математику потребовалось всего пять-десять секунд, чтобы найти правильное решение. Это повергло в замешательство спрашивающего, который сказал: "Я впечатлен, что вы не попались в ловушку математика".