Представьте, что у вас есть набор из ста одной гирьки массой от 1 до 101 г с шагом в один грамм: 1, 2, 3, ..., 100, 101 г. Но вдруг вы обнаружили, что гирька массой 19 г потерялась!
Можете ли вы разложить оставшиеся 100 гирек в две кучки по 50 штук так, чтобы массы обеих кучек были равны?
Ответ, как обычно, вы узнаете ниже.
Давайте попробуем складывать гирьки в кучки так, чтобы обе кучки сразу оказывались одинаковыми по весу. Для этого мы в первую кучку положим самую тяжёлую и самую лёгкую гирьки: 101 и 1 г. Во вторую кучку тоже положим самую тяжёлую и лёгкую гирьки из оставшихся: 100 и 2 г. Таким образом, масса обеих кучек составит 102 г. Так будем действовать и дальше: в первую кучку – гирьки по 99 и 3 г, во вторую – 98 и 4 г (и снова в каждую прибавили по 102 г); в первую – 97 и 5 г, во вторую – 96 и 6 г, и т.д.
Так мы будем действовать, пока не дойдём до утерянной гирьки массой в 19 г. Перед этим мы положим в первую кучку гирьки массой 85 и 17 г, а во вторую – 84 и 18 г.
А что же делать дальше? Теперь попробуем изменить стратегию, и складывать в кучки по две гирьки суммарной массой 103 г: в первую – 83 и 20 г, во вторую – 82 и 21 г, затем в первую – 81 и 22 г, во вторую – 80 и 23 г, и т.д. Таким образом, в конце у нас останется четыре гирьки, которые мы расположим так: в первую кучку – 53 и 50 г, во вторую – 52 и 51 г.
В итоге у нас будут две кучки по 50 гирек в каждой, и вес их будет одинаковым. А каким? Посчитать можно разными способами. Для начала простейшим, с помощью формулы суммы чисел от 1 до n:
(n×(n+1))/2
Сумма ряда чисел от 1 до 101 будет составлять 5151. То есть, общий весь всех гирек массой от 1 до 101 будет составлять 5151 г. Но гирька массой 19 г утеряна, так что останется 5132 г, а каждая из кучек будет весить 2566 г.
Можно посчитать и, что называется, руками на примере первой кучки. В неё мы сначала складываем гирьки весом по 102 г, и делаем это 9 раз: 101 + 1, 99 + 3, 97 + 5, 95 + 7, 93 + 9, 91 + 11, 89 + 13, 87 + 15, 85 + 17. Итого 918 г. Далее мы подкладываем по 103 г, и делаем это 16 раз: 83 + 20, 81 + 22, 79 + 24, 77 + 26, 75 + 28, 73 + 30, 71 + 32, 69 + 34, 67 + 36, 65 + 38, 63 + 40, 61 + 42, 59 + 44, 57 + 46, 55 + 48, 53 + 50. Итого 1648 г. Суммарная масса – 2566 г. Аналогичные расчёты можно провести и для второй кучки, но не буду утомлять вас лишними рядами цифр.
Таким образом, задача может быть решена. В каждой кучке будет по 50 гирек, и каждая кучка будет весить 2566 г.