Есть некоторые два числа, идущие подряд. У первого числа сумма всех цифр равна 8, а второе число делится на 8.
Можете ли вы найти два таких числа?
Ответ, как обычно, вы узнаете ниже.
В действительности таких чисел очень много. И перебрать их все вручную очень сложно, если вообще возможно. Но можно предложить некоторую схему такого поиска.
Будем исходить из нескольких посылок:
- Раз сумма цифр первого числа 8, то сумма цифр второго - 9;
- Второе число должно быть четным;
- Первое число должно быть нечётным;
- Второе число должно содержать нечётные цифры, иначе сумма цифр в нём не составляла бы 9.
Проще всего найти ответ среди двухзначных чисел: это 71 и 72. Сумма цифр в первом числе составляет 8, а 72 без остатка делится на 8, о чём мы все помним из таблицы умножения.
Трёхзначные числа искать сложнее, но попробуем кое-что сделать в этом направлении.
Не вдаваясь в подробности скажем, что существует 112 трёхзначных чисел, делящихся без остатка на 8. Первое такое число - 104, а последнее - 992. Причём поиск этих чисел сводится к прибавлению 8, начиная со 104: 104 +8 = 112, 120, 128, 136 и т.д., пока мы не доберёмся до 992.
Теперь это можно оставить, а пока заняться поиском пар идущих подряд трёхзначных чисел, суммы цифр в которых равны 8 и 9. Здесь можно обойтись методом перебора:
107 - 108, 116 - 117, 125 - 126, 134 - 135, 143 - 144, 152 - 153, 161 - 162, 170 - 171
206 - 207, 215 - 216, 224 - 225, 233 - 234, 242 - 243, 251 - 252, 260 - 261
305 - 306, 314 - 315, 323 - 324, 332 - 333, 341 - 342, 350 - 351
404 - 405, 413 - 414, 422 - 423, 431 - 432, 440 - 441
503 - 504, 512 - 513, 521 - 522, 530 - 531
602 - 603, 611 - 612, 620 - 621
701 - 702, 710 - 711
Здесь можно проследить интересные закономерности, но сейчас они не так важны. А важно то, что из этих пар мы может сразу удалить те, которые точно не подходят - с нечётным вторым числом:
107 - 108, 125 - 126, 143 - 144, 161 - 162
215 - 216, 233 - 234, 251 - 252
305 - 306, 323 - 324, 341 - 342
413 - 414, 431 - 432
503 - 504, 521 - 522
611 - 612
701 - 702
Наконец, мы можем проверить, какие из вторых чисел в парах делятся на 8. Для этого можно использовать признак делимости на 8: трёхзначное число делится на 8 тогда и только тогда, когда цифра в разряде единиц, сложенная с удвоенной цифрой в разряде десятков и учетверённой цифрой в разряде сотен, делится на 8. Однако чисел у нас не так много, и проще воспользоваться калькулятором для проверки.
В результате у нас останется только четыре пары чисел:
143 - 144, 215 - 216, 431 - 432, 503 - 504.
А вот дальше - сложнее. Ведь для поиска чисел с большей разрядностью придётся учитывать все 112 чисел, делящихся на 8. Большого смысла в этом нет, да и проще было бы составить несложную программу для компьютера, который нашёл бы всё за считанные доли секунды.
Но вот что интересно: условиям задачи отвечает и один из крайних случаев - при использовании чисел, состоящих из единиц. Да-да, если мы возьмём пару чисел 11111111 - 11111112, то она тоже подойдёт. Ну и подходят все числа, в которых между единицами находится любое количество нолей. Главное здесь - не разрывать нолями последние три цифры второго числа (112). Аналогично можно играться и с другими числами, но повторюсь - это слишком долго и не имеет большого практического значения.