Задачи
1.Сколько имеется кратчайших путей, проходящих по рёбрам куба, из одной его вершины в противоположную?
Решение. Из начальной вершины можно выйти по любому из трех ребер, а из любой следующей вершины можно выйти двумя путями. Таким образом, каждому из трех вариантов соответствует еще два, а всего есть шесть вариантов.
Ответ: 6.
2. Сколько имеется кратчайших путей, проходящих по рёбрам октаэдра, из одной его вершины в противоположную (см. рис.)?
Решение. Из начальной вершины можно выйти по любому из четырех ребер, а из следующей вершины можно выйти только одним способом. Таким образом, всего есть четыре варианта.
Ответ: 4.
3.Сколько имеется кратчайших путей, проходящих по рёбрам икосаэдра, из одной его вершины в противоположную?
Решение. Из начальной вершины можно выйти по любому из пяти ребер, из любой следующей вершины можно выйти двумя путями, а из следующей только одним путем. Таким образом, каждому из пяти вариантов соответствует еще два, а всего есть 10 вариантов.
Ответ: 10.
4. На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж и К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город К, проходящих через город В?
Решение. Количество путей до города Х = количество путей добраться в любой из тех городов, из которых есть дорога в Х.
При этом если путь должен не проходить через какой-то город, нужно просто не учитывать этот город при подсчете сумм. А если город, наоборот, обязательно должен лежать на пути, тогда для городов, в которые из нужного города идут дороги, в суммах нужно брать только этот город.
С помощью этого наблюдения посчитаем последовательно количество путей до каждого из городов:
А = 1
Б = А = 1
В = А + Б = 2
Г = В = 2 (А не учитываем, поскольку путь должен проходить через город В)
Д = В = 2 (Б не учитываем, поскольку путь должен проходить через город В)
Е = В + Д = 4
Ж = В + Г = 4
К = Д + Е + Ж = 2 + 4 + 4 = 10.
Ответ: 10.
5. На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З и И. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город И, проходящих через город В?
Решение. Количество путей до города Х = количество путей добраться в любой из тех городов, из которых есть дорога в Х.
При этом если путь должен не проходить через какой-то город, нужно просто не учитывать этот город при подсчете сумм. А если город наоборот обязательно должен лежать на пути, тогда для городов, в которые из нужного города идут дороги, в суммах нужно брать только этот город.
С помощью этого наблюдения посчитаем последовательно количество путей до каждого из городов:
А = 1
Б = А = 1
Д = А = 1
Г = А + Д = 1 + 1 = 2
В = А + Б + Г = 4
Е = В = 4 (Б не учитываем, поскольку путь должен проходить через В)
Ж = В + Е = 4 + 4 = 8 (Г, Д, З не учитываем, поскольку путь должен проходить через В)
З = 0 (поскольку в З не ведет ни одна дорога из В)
И = Е + Ж = 4 + 8 = 12.
Ответ: 12.
P.S.:Вы можете связаться со мной, если хотите понять математику, улучшить свои навыки или подготовиться к экзаменам.
Телеграмм: Волоснова Дарья !
!Ссылка на следующий урок ↩️