Всем привет, меня зовут Андрей, это снова я!
Напомню, что первую мою статью по этой теме можно найти здесь.
А всю подборку из всех моих статей на эту тему можно найти тут.
Итак, я уже несколько раз писал про гипотезу Коллатца. Но для тех, кто не знает, о чем речь, скажу вкратце: нужно взять любое целое положительное число, если оно четное - то его надо разделить пополам, а если нечетное, то умножить на 3 и прибавить единицу.
Полученное после этого число снова надо проверить на четность, если снова получилось четное число, его опять надо разделить на 2, а если нечетное - то опять умножить на 3 и после прибавить единицу.
А суть гипотезы Коллатца заключается в том, что какое бы мы ни взяли число, то все равно рано или поздно мы получим единицу.
Например: 81...244...122...61...184...92...46...23...70...35...106...53...160...80...40...20...10...5...16...8...4...2...1
Итак, всего было сделано ровно 22 шага, но мы все-таки получили единицу.
Но процесс преобразования можно немного упростить, учитывая тот факт, что если мы вначале возьмем нечетное число, умножим его на 4 и потом прибавим единицу, то мы точно получим четное число, и это значит, что на следующем этапе его можно делить на 2. Это значит, что можно сразу за один этап выполнить сразу 2 шага преобразования по гипотезе Коллатца.
Но в скобках можно поместить те числа, которые получены из нечетных чисел таким образом, что мы сразу за один этап применяем сразу 2 шага по алгоритму Коллатца. (Вместо 3х+1 с последующим делением результата пополам мы сразу вычисляем 1,5х+0,5, и тем самым и вычисляем сразу 2 шага по алгоритму Коллатца).
Таким образом, то же самое число 81 будет преобразовываться так:
81...(122)...61...(92)...46...23...(35)...(53)...(80)...40...20...10...5...(8)...4...2...1
Здесь тоже 22 шага, т.к. 16 многоточий и плюс 6 чисел в скобках - к ним применяем двойной счет. Ну так и должно быть, мы же преобразовывали то самое число, которое перед этим уже один раз "прогоняли" по алгоритму Коллатца, не упрощая его.
Вот как эти цифры будут выглядеть в Эксель:
Здесь мы видим (D53), что всего шагов было именно 22.
А теперь продолжим говорить про то число, которое однажды фигурировало в финале шоу "Удивительные люди". Там человек в уме вычислил корень 9999-й степени из очень большого числа, в том числе было почти 80000 цифр. Если говорить более точно, там было 79899 цифр.
Но "прогоним" это число по алгоритму Коллатца. После того, как мы пройдем 45800 шагов, мы получим число, в котором будет уже 77706 цифр. Таким образом, после 45800 шагов исходное число "потеряло" 2193 цифры. И теперь наше число начинается с цифр 40062861...
Вот фрагмент нашего числа (наше число выделено оранжевым фоном):
Таким, образом, если мы за 45 тысяч шагов потеряли более двух тысяч цифр, тогда, чисто приблизительно, мы единицу можем получить примерно после полутора миллионов шагов (потому что тысяча цифр теряется примерно через 20 тысяч шагов, а 20000 * 80 будет 1 600 000, или чуть больше, чем полтора миллиона).
А на этом пока всё, всем пока, и до новых встреч!