Планиметрия 10-11 классы. Универсальный многоуровневый сборник задач. 1.1 Отрезки и углы.

©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Авторы: И. В. Ященко, С. А. Шестаков

Содержание:

1.1 Отрезки и углы. Уровень А. Уровень B.

🟢Уровень A

№1

а)

задача №A1а)

📝Решение

Поскольку AM : MB = 3 : 4, то MB : AB = 4 : 7 ⇒ AB = 7*MB/4 = 7*12/4 = 21.

✅Ответ: 21

б)

задача №A1б)

📝Решение

Поскольку KN : MN = 2 : 5, то KN = 2*MN/5 = 2*15/5 = 6.

✅Ответ: 6

№2

а)

задача №A2а)

рисунок к №2а)

📝Решение

Поскольку MA : AN = 2 : 7, то AN = 7*MN/9 = 7*27/9 = 21.

✅Ответ: 21

б)

задача №A2б)

рисунок к №A2б)

📝Решение

Поскольку KB : AB = 5 : 6, то AK : AB = 1 : 6, отсюда AK = AB/6 = 18/6 = 3.

✅Ответ: 3

№3

задача №A3

а)

📝Решение

Проведём BC, опустим высоту AH. Длина высоты AH считается по клеточкам и равна 3.

рисунок к №A3а)

✅Ответ: 3

б)

📝Решение

Проведём BC, опустим высоту AH. Длина высоты AH считается по клеточкам и равна 6.

рисунок к №A3б)

✅Ответ: 6

№4

задача №A4

а)

📝Решение

△ABC - равнобедренный с основанием AC; опустим высоту BH, она также является биссектрисой ∠B, длина отрезка BH считается по клеточкам и равна 4.

рисунок к №A4а)

✅Ответ: 4

б)

📝Решение

В △ABC из точки A проведём чевиану AM так, что AB = BM. Тогда △ABM - равнобедренный с основанием AM; опустим высоту BH, она также является биссектрисой ∠B, и продлим её до пересечения со стороной AC в точке K. Длина отрезка BK считается по клеточкам и равна 4.

рисунок к №A4б)

✅Ответ: 4

№5

задача №A5

а)

📝Решение

Проведём медиану CM. Длина медианы CM считается по клеточкам и равна 3.

рисунок к №A5а)

✅Ответ: 3

б)

📝Решение

Проведём медиану CM. Длина медианы CM считается по клеточкам и равна 3.

рисунок к №A5б)

✅Ответ: 3

№6

а)

задача №A6а)

📝Решение

В данном случае существует 2 варианта взаимного расположения прямых на плоскости:

рисунок к №A6а)

поскольку по условию угол между прямыми b и c меньше 33°, то II случай не подходит.

✅Ответ: 16°

б)

задача №A6б)

📝Решение

Аналогично и в данном случае существует 2 варианта взаимного расположения прямых на плоскости:

рисунок к №A6б)

поскольку по условию угол между прямыми b и c больше 45°, то I случай не подходит.

✅Ответ: 105°

№7

задача №A7

а)

задача №A7а)

📝Решение

Углы между прямыми c и b, и a и c соответственные, отсюда угол между прямыми c и b составляет 35°

✅Ответ: 35°

б)

задача №A7б)

📝Решение

Угол, смежный углу между прямыми c и b, равен углу, смежному углу между прямыми a и c; отсюда искомый угол равен 180° - 35° = 145°.

✅Ответ: 145°

№8

а)

задача №A8а)

📝Решение

Меньший угол равен 180° - 134° = 46°. Тогда угол между биссектрисой и их общей стороной равен 46°/2 = 23°.

✅Ответ: 23°

б)

задача №A8б)

📝Решение

Больший угол равен 180° - 36° = 144°. Тогда угол между биссектрисой и их общей стороной равен 144°/2 = 72°.

✅Ответ: 72°

№9

а)

задача №A9а)

📝Решение

Если биссектриса образует угол 24° с их общей стороной, то величина искомого угла равна 180° - 24° * 2 = 132°

✅Ответ: 132°

б)

задача №A9б)

📝Решение

Если биссектриса образует угол 45° с их общей стороной, то величина искомого угла равна 180° - 45° * 2 = 90°

✅Ответ: 90°

№10

задача №A10

а)

📝Доказательство

Сумма смежных углов равна 180°, тогда сумма углов ∠LOC и ∠KOC - половин данных смежных углов - равна 90°

✅Что и требовалось доказать.

б)

📝Решение

∠COB = 2 * ∠COK = 2 * 28° = 56°. ∠AOC = 180° - ∠COB = 180° - 56° = 124°.

✅Ответ: 124°

№11

задача №A11

а)

📝Решение

∠COD = ∠BOD - ∠BOC = 56° - 23° = 33°

✅Ответ: 33°

б)

📝Решение

∠AOD = ∠AOC + ∠BOD - ∠BOC = 53° + 56° - 23° = 86°

✅Ответ: 86°

№12

задача №A12

а)

📝Доказательство

∠CLK = ∠BKL как накрест лежащие; ∠MLK = ∠NKL как половины равных углов; однако поскольку они также являются накрест лежащими, то LM∥KN.

✅Что и требовалось доказать.

б)

📝Доказательство

LM∥KN по вышедок. и MK∥LN ⇒ MKNL - параллелограмм; тогда ∠KML = ∠KNL по св-у параллелограмма.

✅Что и требовалось доказать.

🟡Уровень B

№1

а)

задача №B1а

📝Решение

Поскольку LB : AL = 4 : 7, то AB = 11*AL/7 = 11*14/7 = 22.

✅Ответ: 22

б)

задача №B1б)

📝Решение

Для удобства объединим пропорции в одно: AR : PR : RB = 5 : 4 : 2. Из данного отношения следует определённое расположение точек:

рисунок к №B1б)

Тогда поскольку PR : AR = 4 : 5, то AP : PR = 1 : 4 ⇒ AP : RB = 1 : 2, отсюда RB = 2 * AP = 2 * 3 = 6.

✅Ответ: 6

№2

а)

задача №B2а)

рисунок к №B2а

📝Решение

DB = 4*CB/7; CB = 14*AB/19, отсюда DB = 4 * 14 * AB/(7 * 19) = 8*AB/19 ⇒ AD = 11*AB/19. Тогда AD : DB = 11 : 8.

✅Ответ: 11 : 8

б)

задача №B2б)

рисунок №2б)

📝Решение

AD = 2*AC/5; AC = 10*AB/17, отсюда AD = 2 * 10 * AB/(5 * 17) = 4*AB/17 ⇒ DB = 13*AB/17. Тогда AD : DB = 4 : 13.

✅Ответ: 4 : 13

№3

а)

задача №B3а)

рисунок к №B3а)

📝Решение

△AMB ~ △CMD по 2-ум углам (∠MAB = ∠MCD и ∠MBA = ∠MDC как накрест лежащие при пересечениях AB∥CD секущими AC и BD), из подобия следует: MC = AC * 42/(42+12) = 56 * 42/56 = 42.

✅Ответ: 42

б)

задача №B3б)

📝Решение

△AMB ~ △CMD по 2-ум углам (∠MAB = ∠MCD и ∠MBA = ∠MDC как накрест лежащие при пересечениях AB∥CD секущими AC и BD), из подобия следует: MC = AC * 51/(51+17) = 64 * 51/68 = 48.

✅Ответ: 48

№4

задача №B4

а)

📝Решение

На сторонах угла построим прямоугольные треугольники и отметим углы α и β так, как это показано на рисунке

рисунок к №B4а)

Тогда искомый угол равен 90° - (α + β); выразим тангенс данного угла:

tg(90° - (α + β)) = ctg(α + β) = (ctg (α) * ctg (β) - 1) / (ctg (α) * ctg (β));

ctg α = 3; ctg β = 2 ⇒ ctg(α + β) = (3 * 2 -1) / (3 + 2) = 5/5 = 1

✅Ответ: 1

б)

📝Решение

На сторонах угла построим прямоугольные треугольники и отметим углы α и β так, как это показано на рисунке

рисунок к B4б)

Тогда искомый угол равен 180° - (α + β); выразим тангенс данного угла:

tg(180° - (α + β)) = -tg(α + β) = -(tg α + tg β) / (1 - tg α * tg β);

tg α = 1/2; tg β = 1/3 ⇒ -tg(α + β) = -(1/2 + 1/3) / (1 - 1/2 * 1/3) = - (5/6) / (5/6) = -1

✅Ответ: -1

Не забудь подписаться на канал и поставить лайк!