Он появился на свет 15 июля 1905 года в небольшом селе на Донбассе. Будущий актёр имел шведские корни и от предков при рождении унаследовал звучную фамилию — Брессем. Глава семейства трудился машинистом, но скоропостижно скончался, когда Саше было всего два года. Все заботы о мальчике и четырёх его братьях и сёстрах легли на плечи матери. Уже подростком Александр брался за любую работу, чтобы как-то помогать семье — побывал и грузчиком, и официантом в кабаке, и посудомойщиком. При этом парень успевал хорошо учиться — церковно-приходскую школу он окончил в похвальным листом.
Получив аттестат, Александр поступил в железнодорожное училище и начал работать счетоводом в службе движения Южной железной дороги. Шла активная украинизация, и молодой человек решил распрощаться со шведской фамилией — получил новые документы, где был записан уже как Хвыля, что в переводе с украинского означает «волна». Он быстро понял, что не хочет провести остаток дней на железной дороге. Александр поступил в драматическую студию, по окончании которой уехал в Харьков и стал актёром Театра имени Шевченко.
На экране Александр Хвыля впервые появился в драме про строительство Днепрогэс «Иван» — промелькнул в образе военного оратора. Спустя несколько лет актёру доверили первую главную роль — он сыграл народного героя Устима Кармелюка в одноимённой исторической ленте. После этого Хвыля создал целый ряд героических образов — Будённого в «Первой Конной», революционера Александра Пархоменко в одноимённом фильме, полковника Елисеева в «Дороге к звёздам». Хвыля снимался в роли Шульги в фильме «Молодая гвардия», но при монтаже все сцены с его участием вырезали.
Александр Хвыля был одним из любимых актёров знаменитого киносказочника Александра Роу. Впервые они работали вместе над «Майской ночью, или Утопленницей», где Хвыле досталась роль Головы. После этого актёр сыграл мудреца-молчальника в «Марье-искуснице», казака Чуба в «Вечерах на хуторе близ Диканьки», обер-повара в «Королевстве Кривых зеркал». Но визитной карточкой актёра стала сказка «Морозко» — Хвыля с его статью и глубоким басом стал идеальным воплощением зимнего волшебника на экране. На этом сотрудничество с Роу не завершилось — актёр появился в его сказках режиссёра «Огонь, вода и... медные трубы», «Варвара-краса, длинная коса», «Золотые рога».
После небывалого успеха фильма «Морозко» Александр Хвыля получил статус главного Деда Мороза страны. На протяжении пятнадцати лет актёр представал в этом образе перед детьми на Кремлёвских ёлках. На время праздников Хвыля отказывался от всех съёмок, а руководство выделяло ему автомобиль с личным водителем, чтобы Дед Мороз успевал поздравить всех, кто ждал от него чуда. В последние годы актёра начало подводить здоровье. Однажды он привёл на площадку дублёра Романа Филиппова, который был на тридцать лет младше и в случае чего мог заменить своего опытного коллегу. Поначалу Филлипов лишь подстраховывал Хвылю в нужные моменты, но вскоре уже записал фонограмму с собственным голосом и сумел получить половину концертов. Александр Леопольдович очень обиделся и прекратил всякое общение с молодым напарником. В результате тот полностью сменил Хвылю на посту Главного Деда Мороза и занимал эту сказочную должность больше двадцати лет.
Личную жизнь Александр Хвыля всегда хранил в тайне. Его верной спутницей была актриса Анна Белоусова, в браке с которой Хвыля счастливо прожил тридцать лет. Когда на свет появилась дочь Инесса, супруга оставила профессию и посвятила себе семье.
Александра Хвылю давно мучили приступы астмы, но несмотря на плохое самочувствие, он продолжал сниматься в кино. Последней картиной с участием актёра, которая вышла на экраны при его жизни, стала мелодрама «Семья Ивановых», где он сыграл бывшего фронтовика, генерала Чистохвалова. 71-летний Александр Хвыля скончался 17 октября 1976 года. Похоронили лучшего Деда Мороза страны на Кунцевском кладбище.