Поразительно, насколько применима математика к реальному миру. Каким-то образом мы, люди, разработали логическую систему правил, которая может очень хорошо описывать вселенную. Существует постоянный спор о том, сколько математики было изобретено нами и сколько было открыто. Одним из основных математических объектов, вовлеченных в этот спор, является Золотое сечение.
Золотое сечение обладает некоторыми уникальными свойствами, и в результате оно появляется в самых разных ситуациях. Люди впервые заметили его в знаменитых «Элементах» Евклида в 300 году до н.э., и с тех пор оно остается важным. Хотя оно долгое время было важным в математике, также говорится, что Золотое сечение появляется в архитектуре, музыке, физике и многих природных условиях. Однако недавние исследования показали, что его кажущаяся повсеместность, вероятно, преувеличена. Благодаря своей интересной визуальной структуре, оно стало очень популярной темой в популярной математике.
Очевидно, что Золотое сечение касается чего-то более глубокого. Но какая истина содержится в этом загадочном числе? Основано ли оно на реальных наблюдениях или это просто миф, который существовал слишком долго? В этой статье я опишу, что именно представляет собой Золотое сечение. Затем мы рассмотрим некоторые его применения, а также места, где оно определенно не применяется. Это увлекательная тема, так что начнем.
Происхождение
Золотое сечение — это очень особый тип соотношения между двумя числами. Его можно математически выразить следующим образом:
Золотое сечение Чтобы создать Золотое сечение, вам нужны два числа, a и b, такие, что отношение a к b равно отношению a + b к a. Математики выбрали греческий символ φ для обозначения этого числа. Оказывается, мы можем решить уравнение для φ, манипулируя этими двумя дробями, чтобы получить следующее уравнение:
Мы можем преобразовать это соотношение в многочлен и использовать квадратное уравнение, чтобы получить следующий ответ:
Интересно отметить, что Золотое сечение является иррациональным числом. Это означает, что его нельзя представить в виде дроби между целыми числами, и его десятичная форма будет продолжаться бесконечно без какого-либо узора. Приведенная выше дробь не считается, так как в числителе есть квадратный корень. Итак, это Золотое сечение. Если вы не поняли математику, не беспокойтесь. Я думаю, что следующее геометрическое объяснение будет более интуитивным.
В основном, красный прямоугольник пропорционально такой же, как красный+синий прямоугольник. Нам просто нужно повернуть больший прямоугольник и немного уменьшить его, чтобы получить красный прямоугольник. Это свойство придает Золотому сечению его красоту, и именно оно делает его визуально привлекательным. Это все, что вам нужно знать, чтобы понять основы. Давайте посмотрим, как это связано с другим очень популярным математическим объектом.
Связь с последовательностью Фибоначчи
Одной из самых удивительных связей с Золотым сечением является связь с последовательностью Фибоначчи. Вы, вероятно, слышали об этом наборе чисел раньше, но если нет, не беспокойтесь! Последовательность Фибоначчи имеет очень простое определение и легко понимается. Каждое число создается путем сложения двух предыдущих чисел в последовательности. Ниже я показал первые несколько чисел.
Эта последовательность была известна как минимум с 200 г. до н.э., когда она была описана в древних индийских текстах. Интересно, что по мере продвижения по последовательности, отношение каждого числа к его предшественнику приближается к Золотому сечению. Мы выражаем это математически следующим образом:
Где Fₙ — это n-е число в последовательности Фибоначчи в приведенном выше уравнении. Вы можете увидеть это соотношение на изображении выше. Каждый раз, когда спираль формирует новое число, создается прямоугольник. Каждый новый прямоугольник все ближе и ближе к прямоугольнику Золотого сечения, который я описал выше.
Если вас смущает обозначение предела, посмотрите на таблицу ниже. Каждое деление все ближе и ближе к Золотому сечению.
Итак, мы обсудили две основные математические идеи, скрытые в Золотом сечении. Давайте посмотрим, как мы можем использовать эту концепцию для создания эстетически приятных дизайнов.
Художественная красота
Несколько выдающихся произведений искусства используют Золотое сечение для передачи красоты. Леонардо да Винчи был известен своей одержимостью Золотым сечением, и он потратил много сил, пытаясь найти лучший способ визуально его передать. Большинство художников используют Золотое сечение двумя способами. Они либо используют Золотую спираль, созданную набором увеличивающихся по размеру прямоугольников, как на картине «Большая волна в Канагаве», изображенной выше. Художники также используют Золотой прямоугольник, который представляет собой просто один прямоугольник, следующий этому соотношению.
(Источник) Например, «Тайная вечеря» Сальвадора Дали использует Золотой прямоугольник, размещая стол в точном месте, необходимом для его создания. Мы знаем, что это размещение было сделано им намеренно. В этой картине есть много других Золотых прямоугольников, созданных расположением учеников.
Теперь важно не преувеличивать частоту использования Золотого сечения. Многие утверждения о Золотом сечении просто не подтверждаются и оправдываются наложением спирали на изображение. Спираль должна иметь очень специфическую форму, чтобы считаться Золотой.
Несмотря на одержимость Леонардо Золотым сечением, мы знаем из его записок, что не каждое произведение предназначено для его представления. Популярные математические тексты часто упоминают его «Витрувианского человека» и «Мону Лизу» как другие примеры Золотого сечения. Опять же, эти утверждения оправдываются только наложением спирали на изображение и просто не выдерживают математической проверки.
Дополнительные исследования попытались измерить, насколько эстетически приятны разные прямоугольники, и выяснить, выигрывает ли Золотой прямоугольник. Результаты были несколько смешанными, но большинство из них не обнаружили сильного предпочтения к Золотому прямоугольнику. Я привел ссылки на эти исследования в конце статьи.
Хотя Золотой прямоугольник может быть не таким фундаментальным, как хотят верить популярные статьи, он все же особенный. Он неоспоримо эстетически приятен и имеет глубокую связь с последовательностью Фибоначчи. Нам просто нужно быть осторожными, чтобы не преувеличивать его значимость. Давайте посмотрим, как эта связь приводит к появлению этого соотношения в природе.
Природные связи
Как я уже упоминал ранее, спиральная форма не обязательно означает, что Золотое сечение играет роль. Однако математическая связь между Золотым сечением и числами Фибоначчи означает, что существуют явные появления этого соотношения в природе.
Последовательность Фибоначчи действительно появляется в природе. Часто в случаях, когда растение пытается максимизировать доступ к солнечному свету или эффективно производить семена, последовательность Фибоначчи оказывается полезной.
Два спиральных рукава, синий и светло-синий, ориентированы в противоположных направлениях. Есть 21 и 13 из каждого типа, что заметно является числами Фибоначчи. Семена подсолнуха также следуют аналогичной спиральной схеме и имеют 34 рукава в одном направлении и 55 в другом, что также является числами Фибоначчи.
Эта схема возникает, потому что растение растет по спиральной схеме наружу. Оно может расти таким образом и производить максимальное количество семян благодаря основным свойствам последовательности Фибоначчи. Поскольку Золотое сечение связано, это является естественным проявлением этого соотношения.
Шишки сосны демонстрируют ту же структуру и создают спиральные наборы выступов, соответствующих числам Фибоначчи.
В целом, Золотое сечение и числа Фибоначчи действительно появляются в природе. Их математические свойства делают их полезными для некоторых видов, и, хотя я не говорил об этом здесь, некоторые кристаллы следуют этой схеме. Однако их важность, вероятно, преувеличена. Может быть какая-то связь с красотой, но она не сильная. Это, вероятно, математический миф, который был распространен поп-культурой, как в «Коде да Винчи».