Здравствуйте, дорогие читатели канала викторины «Восклицание». Сегодня мы посмотрим на некоторые задачи, посвящённые процентам, которые составлены в формате викторины «Восклицание».
Из этой статьи вы узнаете пять идей разной сложности, связанных с понятием процента числа.
Идея первая.
Целое - это 100%.
Эта идея несложная, очень вероятно, что вы это уже знаете, если знаете, то пропустите этот раздел, более-менее необычная информация начинается с третьего раздела.
Что вообще такое процент? (Здесь процент объясняется вообще с нуля, поэтому, если вы знаете, что это, можно пропустить.)
Здесь всё просто. Допустим, в городе 100 небоскрёбов. Тогда каждый небоскрёб составляет 1% (один процент) от числа небоскрёбов города. Процент - это сотая доля чего-либо.
Таким образом, целое - это сто сотых долей чего-либо. Поэтому целое - это 100%.
Закрепим эту идею несложным вопросом в формате викторины.
1. Магазин продал 72% закупленного у компании «Вкус» мороженого. Какая часть мороженого (в процентах) осталась непроданной?
Можете проверить себя с помощью формы.
Решение (не подглядывать!). 100%-72%=28%. Ответ - 28.
Идея вторая.
Можно найти процент от числа (формула: a*b/100). Можно рассчитать скидку в магазине (формула: a*(100-b)/100), обозначения a и b пояснены ниже.
Эта идея сложнее предыдущей, но тоже относительно несложная.
Правило 1.
Чтобы найти a процентов от числа b, нужно перемножить a и b и результат разделить на 100.
Например, 50% от 50 - это 25. Решение: 50*50/100=25.
Правило 2.
Если исходная цена товара составляла а рублей, а магазин сделал скидку b процентов, то, чтобы найти новую цену, нужно действовать по алгоритму.
1. Найти 100-b. Это число покажет, сколько процентов новая цена составляет от старой.
Пример. Магазин сделал скидку 20%. Значит, новая цена составляет 80% от старой, потому что 100-20=80.
2. Перемножить числа a и (100-b).
3. Результат разделить на 100.
Пример. Пусть товар стоил 500 рублей, но магазин сделал скидку 20%. На первом шаге мы получили, что новая цена составляет 100%-20%=80% старой цены. На втором шаге мы перемножим 500 и 80, а на третьем шаге разделим результат на 100. Получаем пример: 500*80/100.
На самом деле можно сначала 500 умножить на 80 (это будет 40 000), а потом результат разделить на 100. Ответ будет 400, и это верный ответ. Но этот способ решения неудобный.
Более оптимальный способ решения такой - сначала разделим 500 на 100, получим 5. После этого умножим 5 на 80, получим 400. Ответ - 400.
Почему можно сначала разделить на 100, а потом умножить на 80? Дело в том, что пример состоит только из умножения и деления и не содержит скобок. В таких примерах можно, не перемещая первого числа, менять местами остальные комбинации «знак-число».
Пояснение. Допустим, есть пример 25/4*15/42. Этот пример можно разбить на следующие группы символов.
Первая группа - 25.
Вторая группа - "разделить на 4".
Третья группа - "умножить на 15".
Четвёртая группа - "разделить на 42".
Число 25 перемещать нельзя. Но ничто не мешает сначала разделить 25 на 42, потом разделить результат на 4, и лишь в конце умножить ответ на 15. Но решать этот пример здесь мы не будем, чтобы не тратить время, поскольку в нём возникают обыкновенные дроби. Результат вычисления выражения 25/4*15/42 не является целым числом, но является рациональным числом (результатом деления целого числа на натуральное).
В примере из задачки (500*80/100) мы делим условие на группы так:
Первая группа - 500.
Вторая группа - "умножить на 80".
Третья группа - "разделить на 100".
Ясно, что можно сначала 500 разделить на 100, а потом умножить результат на 80. Ответ - 400.
Теперь проверим, как вы усвоили эту идею.
2. Без скидки телефон можно купить за 24680 рублей. Если скидка составляет 90%, сколько рублей стоит телефон со скидкой?
Решение и ответ на этот вопрос: 24680*(100-90)/100=24680*10/100=2468 рублей.
Идея третья.
Умножение процентов. Если нужно найти a% от b%, то вместо этого можно найти ((a*b)/100)%.
Аналогично, если нужно найти a% от b% от c%, то вместо этого лучше найти ((a*b*c)/10000)%.
Уровень сложности: средний или сложный.
Доказательство этой идеи несложное: каждый знак процента можно рассматривать просто как деление на 100. Соответственно, когда мы сокращаем число знаков процента на 1 в предложениях выше (в условии задачи), мы обязаны разделить на 100, когда на 2 - на 10 000, когда на 3 - на 1 000 000 и т. д.
Пример. Иван съел 10% от 50% шоколадной части пирога. Если шоколадная часть пирога составляет 20% пирога, какую часть пирога (в процентах) съел Петя?
Решение. Весь пирог - это 100% (или целое). Поэтому в условие можно добавить ещё четвёртый знак процента. Перепишем условие.
Иван съел 10% от 50% шоколадной части пирога. Если шоколадная часть пирога составляет 20% пирога, какую часть от 100% пирога (в процентах) съел Петя?
Итак, процент в условии фигурирует 4 раза. Нам нужно, чтобы в ответе процент фигурировал один раз. Значит, мы уменьшаем количество знаков процента (знаков деления на 100) на 3. Таким образом, произведение придётся делить на 100*100*100=1 000 000 (число 100 умножено на себя 3 раза, то есть возведено в третью степень, возведено в куб).
(10*50*20*100/1 000 000)% = (500*20*100/1 000 000)% = (10 000*100/1 000 000)% = (1 000 000/1 000 000)%=1%.
Можно рассуждать и по-другому. 20% - это шоколадная часть пирога. 50% от 20% - это 10% (это половина от 20%, или, если действовать по формуле из Идеи 3, (50*20/100)%, то есть 10%). 10% от 10% - это 1% (по формуле: (10*10/100)% = (100/100)%=1%).
Ну что же, пришло время для небольшого контрольного вопроса...
3. 40% елочных игрушек красного цвета, а остальные игрушки зелёные. Если 20% игрушек красного цвета и 73% игрушек зелёного цвета - это игрушки-сосульки, какую часть составляют красные игрушки-сосульки от всех ёлочных игрушек (в процентах)?
Решение (сначала попробуйте ответить сами!). Используем формулу: (40*20/100)% = 8%. Поэтому ответ - 8. Число 73 не нужно использовать в вычислениях - оно лишнее. Также лишней является вообще вся информация про игрушки зелёного цвета.
Идея четвёртая.
Промилле - это тысячная доля чего-либо.
Уровень сложности: высокий, если не знать, низкий, если знать.
Вопрос про промилле на канале уже как-то был, но можно и повторить. Промилле обозначается так: ‰.
Например, найдём 500‰ (пятьсот промилле) от 26. Это то же самое, что 50% от 26, потому что 1% - это 10‰ (поскольку процент - это сотая доля чего-либо, а промилле - тысячная доля чего-либо). 50% от 26 - это половина от 26, или 13. Ответ - 13.
Кстати, mille во французском означает тысяча.
И, по доброй традиции, небольшой вопрос на тему Промилле.
4. Известно, что 240‰ (240 промилле) студентов поступило на технические направления. Сколько процентов студентов поступило на технические направления?
Идея 5 (и последняя на сегодня!).
Если вы не можете найти u% от числа v, попробуйте найти v% от числа u. Эти числа равны.
(Средняя сложность.)
Если вы освоили идею 2 и помните школьную программу, то поймёте, почему это правда. Всё просто: u*v=v*u. Значит, u*v/100=v*u/100. Поэтому утверждение справедливо.
5. Найдите 24826% от 50.
Решение и ответ. Половина от числа 24826 - это число 12413 (обратите внимание, что от числа 24826 очень удобно найти половину, то есть 50%, если непонятно, почему, разделите 24826 на 2 в столбик). Ответ - 12413.
На этом мы заканчиваем обзор задач викторины на проценты. Но, кто знает, может быть, есть ещё какие-то идеи, которые могут попасться вам в школе, на выпускных экзаменах или в рамках викторины «Восклицание».
Но ещё вас ждёт бонус: помощь в поиске процентов (специальная таблица, облегчающая вычисления)!
Справочная таблица, посвящённая нахождению процентов:
Чтобы найти 50% от числа, нужно число разделить на 2.
Чтобы найти 25% от числа, нужно число разделить на 4.
Чтобы найти 20% от числа, нужно число разделить на 5.
Чтобы найти 10% от числа, нужно число разделить на 10.
Чтобы найти 5% от числа, нужно число разделить на 20.
Чтобы найти 2% от числа, нужно число разделить на 50.
Чтобы найти 1% от числа, нужно число разделить на 100.
Чтобы найти u% от числа, нужно число разделить на 100/u (или умножить на u/100), где вместо u можно подставить любое действительное число.
Удачи вам не только в викторинах, но и в жизни!