72 подписчика

ВСЕ ЗАДАНИЯ ЕГЭ 2024 С РЕШЕНИЯМИ | часть 1

Задание 1. Планиметрия

Задание 1.1

Решение: углы CAD и CBD - это вписанные углы, которые опираются на одну дугу, следовательно, они равны друг другу.

Найдём угол CBD:

Ответ: 35.

Задание 1.2

Решение: углы CAD и CBD - вписанные и опираются на одну дугу, следовательно, они равны.

Найдём угол ABC:

Ответ: 98.

Задание 1.3

Решение: сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°. Так как сумма данных углов не равна 180°, даны односторонние углы.

Найдём оставшиеся углы:

Больший из оставшихся углов равен 103°.

Ответ: 103.

Задание 1.4

Решение: так как AC и BD – диаметры, то BO и OC – радиусы, следовательно треугольник BOC – равнобедренный.

Углы BOC и AOD – вертикальные, значит они равны друг другу.

Найдём угол ACB:

Ответ: 33.

Задание 2. Векторы и действия над ними

Задание 2.1

Решение: найдём координаты векторов a и b, для этого определим координаты точек, которые являются началом и концом векторов.

Найдём координаты вектора a+4b:

Длина вектора вычисляется по формуле:

Ответ: 11

Задание 2.2

Решение: найдём координаты вектора a-b+c

Длина вектора вычисляется по формуле:

Ответ: 10.

Задание 2.3

Решение: скалярное произведение векторов вычисляется по формуле

Ответ: 82.

Задание 3. Стереометрия

Задание 3.1

Многогранник объём, которого нам нужно найти является половинкой от данного многогранника. Найдём объем всего многогранника и поделим пополам.

Задание 3.2

Решение: многогранник, объём которого нам нужно найти, это треугольная пирамида с основанием A1B1C1 и высотой A1A.

Объем пирамиды вычисляется по формуле:

Ответ: 12.

Задание 4. Теория вероятности

Задание 4.1

Решение: по классическому определению вероятности, вероятность события есть отношение благоприятствующих событию А исходов к количеству всех исходов:

Ответ: 0,8.

Задание 4.2

Ответ: 0,74.

Задание 4.3

Решение: по классическому определению вероятности, вероятность события есть отношение благоприятствующих событию А исходов к количеству всех исходов.

Чтобы лучше понять задачу, можно представить, что туристы тянут честный жребий, на которых написан номер рейса.

Ответ: 0,05.

Задание 4.4

Чтобы лучше понять задачу, можно представить, что туристы тянут честный жребий, на которых написано идёт они в магазин или нет.

Ответ: 0,75.

Задание 5. Теория вероятности

Задание 5.1

Решение: подходящие нам исходы – это те, в которых хотя бы одна лампа не перегорит. Найдём вероятность единственного события, которое нам не подходит (перегорят все лампы).

Так как сумма вероятностей всех элементарных исходов опыта равна единице, то вероятность нужных нам исходов можно вычислить, как

Ответ: 0,973.

Задание 5.2

Решение:если события независимые, то для того, чтобы найти вероятность возникновения нескольких событий, их вероятности необходимо перемножить.

Вероятность промаха можно определить, как

Рассчитаем необходимую нам вероятность:

Ответ: 0,0729.

Задание 6. Решение уравнений

Задание 6.1

Ответ: 12.

Задание 6.2

Решение:

Ответ: 4.

Задание 7. Алгебраические преобразования

Задание 7.1

Решение:

Ответ: 4,5.

Задание 7.2

Источник: ФИПИ. Прототип основной волны 2022 года

Решение:

Ответ: 0,5.

Задание 7.3

Ответ: 1.

Задание 7.4

Решение:

Ответ: 3.

Задание 7.5

Ответ: -3,5.

Задание 7.6

Решение:

Ответ: -0,5.

Задание 8. Использование производной в исследовании функций

Задание 8.1

Источник: ФИПИ. Основная волна 2017 года

Решение:

Нам дан график производной функции.

Когда производная отрицательна, функция будет убывать.
Когда производная положительна, функция будет возрастать.

Так как функция убывает на промежутке [-2; 3], наименьшее значение будет в точке x=3.

Ответ: 3.

Задание 8.2

Источник: ФИПИ. Основная волна 2018 года

Решение:

Нам дан график производной функции.

Когда производная отрицательна, функция будет убывать.
Когда производная положительна, функция будет возрастать.

Так как функция возрастает на промежутке [2; 8], то наименьшее значение будет в точке x=2.

Ответ: 2.

Задание 8.3

Решение:

Нам дан график производной функции.

Когда производная отрицательна, функция убывает.
Когда производная положительна, функция возрастает.

Так как функция убывает на промежутке [-5; -1) (x=-1 - это точка минимума функции), то наибольшие значение будет в точке x=-5.

Ответ: -5.

Задание 8.4

Решение:

Нам дан график производной функции.

Когда производная отрицательна, функция убывает.
Когда производная положительна, функция возрастает.

Так как функция возрастает на промежутке [-8; -4) (x=-4 - это точка максимума функции), то наибольшие значение будет в точке x=-4.

Задача 8.5

Решение: нам дан график функции.

Определим какие знаки будет иметь производная в точках:

x=-1: функция возрастает, следовательно производная положительна;
x=2: функция убывает, следовательно производная отрицательна;
x=3: функция убывает, следовательно производная отрицательна;
x=4: функция возрастает, следовательно производная положительна.

В точке x=-1 производная возрастает быстрее, чем в точке x=4, следовательно в точке x=-1 производная будет наибольшей.

Ответ: -1.

Задача 8.6

Решение:

Точка минимума функции - это экстремум (f'(x)=0), также знак производной должен изменяться с "минуса" на "плюс". На нужном нам промежутке такая точка одна в x=2.

Ответ: 1

Задание 9. Прикладное использование формул

Задание 9.1

Решение:

Ответ: 6

Задание 9.2

Решение:

Ответ: 6000

Задание 10. Текстовые задачи

Задание 10.1

Решение:

Ответ: 84.

Задание 10.2

Решение:

Ответ: 8

Задание 11. Графики

Задание 11.1

Решение:

Ответ: 16

Задание 11.2

Решение:

Ответ: 8

Задание 11.3

Решение:

Ответ: 0,2

Задание 12. Исследование функций с помощью производной

Задание 12.1

Найдите точку минимума функции

Решение:

1. Найдём производную функции:

2. Приравняем производную к нулю для того, чтобы найти точки экстремума:

3. Исследуем поведение функции: в функции есть подлогарифмическое выражение, которое должно быть строго положительным, следовательно мы исследуем функцию только на промежутке x>-3:

Точка минимума функции: -2.

Ответ: -2

Задание 12.2

Найти точку минимума функции

Решение:

1. Найдём производную функции:

2. Приравняем производную к нулю для того, чтобы найти точки экстремума:

Точка минимума функции в x=8.

Ответ: 8

Еще больше полезного материала вы найдёте в Телеграмм-канале: https://t.me/math_li_bu