Здравствуйте! В первую очередь стоит разобрать (или вспомнить) теоретический материал на тему графиков функций и графиков производных функций. Так как этот тип заданий в целом не сложный, разберу основные типы с теорией, а не только самые сложные.
Навигация по статьям этой серии
1. График функции f(x)
2. График производной функции f'(x)
к 3 пункту еще можно добавить, что на графике и так видно, где f'(x)=0 (там же, где y=0, на оси x)
3. Задачи без графика
- Прямая у = 5х-8 является касательной к графику функции y= 6х^2 + bx + 16. Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.
В таких задачах всегда нужно решить систему уравнений: f(x)=g(x) и f'(x)=g'(x). Принять каждый y за f(x) и g(x) пришлось во избежание путаницы (иначе системы выглядела бы как y'=y' и y=y). Также в условии сказано, что абсцисса больше 0 => x=-2 не подходит, находим b при х=2.
В задачах ниже я объединила две схожие задачи, отличающиеся только вопросом: в первом случае надо найти скорость при заданном времени, а во втором найти время при заданной скорости. ОТ ВОПРОСА ЗАВИСИТ РЕШЕНИЕ! ЭТО НЕ ОДНО И ТО ЖЕ!
- Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = -1/3t^2+8 + 4t^2-3t+15, где х — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 7 c.
- Материальная точка движется прямолинейно по законму x(t)=t^2-9t-22. где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, прошедшее с начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равно 3м/с?
4. Разбор заданий с графиком
В первую очередь я также покажу рядом схожие задания, которые отличаются только тем, какой график изображен. Это очень важно. В зависимости от того. какой график, f'(x)=0 в разных месатах.
- На рисунке изображён график у = f’(x) - производной функции f(x), определённой на интервале (-2; 20). Найдите количество точек экстремума функции f(x), принадлежащих отрезку [1; 15].
- На рисунке изображён график функции у = f(х), определённой на интервале (-9; 5). Найдите количество точек, в которых производная функции f(х) равна 0.
- На рисунке изображён график функции у = /(х). На оси абсцисс отмечено шесть точек: х1, х2, х3, х4, х5, х6. В ответе укажите количество точек (из отмеченных), в которых производная функции /(х) положительна.
Под каждым x я подписала знак производной в этой точке, в зависимости от того, возрастает или убывает функция.
- На рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены точки -2, -1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
Почему f'(x)=0 (точка -2) не подходит? Потому что есть еще и точка, в которой значение производной отрицательно (-1). Отрицательное число в любом случае меньше нуля.
Задание выглядит так:
- На рисунке изображён график функции у = f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 5. Найдите значение производной функции в точке х0 = 5.
Дополнительные построения такие:
Значение производной в точке - величина тангенса угла наклона касательной. Тангенс - отношение противолежащего катета к прилежащему. Обязательно нужно учесть знак наклона, а именно коэффициент k.
Изучить вопрос коэффициентов прямой можно здесь.
- На рисунке изображён график у = f'(x) - производной функции f(x), определённой на интервале (-8;3). В какой точке отрезка [-5;0] функция f(x) принимает наибольшее значение?
В таких заданиях отдельно строим прямую. на которую переносим границы (указаны в условии) и экстремумы. Далее определяем характер экстремума и делаем вывод.
Спасибо за просмотр! Подписывайтесь!