Зачем нужны НОК и НОД и какую пользу они несут для полноценного понимания дробей

Здравствуйте! Не только школьники, но и их родители задаются вопросом зачем нужны НОК и НОД в школьной программе.

Предыдущие части летней программы:

Разложение на простые множители

Простые числа — это положительные целые числа, которые имеют ровно два различных положительных делителя: 1 и само число. Другими словами, простые числа делятся только на себя и на единицу.

При разложении на простые множители мы будем опираться на таблицу простых чисел: делить можно только на числа из таблицы.

Таблица простых чисел

При разложении на простые множители можно делить только на простые числа. В противном случае, это не простые множители. Хорошо бы знать признаки делимости для более быстрого разложения. Вот часть признаков:

• Признак делимости на 2:

Последняя цифра числа четная (0, 2, 4, 6, 8)

• Признак делимости на 3:

Сумма цифр числа делится на 3

• Признак делимости на 4:

Последние две цифры числа делятся на 4

• Признак делимости на 5:

Последняя цифра числа 0 или 5

• Признак делимости на 6:

Число делится на 2 и на 3

• Признаки делимости на 7:

Отнять от числа удвоенную последнюю цифру и проверить, делится ли полученная сумма на 7

Вычесть последнюю цифру, умноженную на 2 из остальных цифр (без последней). Если полученная разница делится на 7, то и исходное число делится на 7.

• Признак делимости на 8:

Последние три цифры числа делятся на 8

• Признак делимости на 9:

Сумма цифр числа делится на 9

• Признак делимости на 10:

Последняя цифра числа 0

НОД - наибольший общий делитель

Алгоритм:

1. Разложите числа на простые множители.
2. В каждом столбике обведите те числа, которые есть во всех столбиках (у нас же общий делитель)
3. Перемножьте обведенные числа.
4. Готово!

Зачем нужен НОД?

Зная НОД можно очень быстро сократить дроби. От исходных чисел останется перемножение тех чисел, которые мы не обвели. Если обвели все - то только единица. На самом деле, бОльшую пользу этот инструмент несет в качестве понимания состава числа, взаимосвязи этого числа с другими.

НОД помогает разложить число на его простые множители. Например, НОД числа 12 равен 6, что означает, что 12 можно разложить на множители как 2 2 3. Это понимание состава числа важно для многих математических операций, таких как разложение на простые множители, нахождение наименьшего общего кратного (НОК) и решение уравнений.

НОД также помогает выявить взаимосвязи между числами. Например, если НОД двух чисел равен 1, то эти числа называются взаимно простыми. Взаимно простые числа имеют ряд интересных свойств, которые используются в различных математических задачах.

Кроме того, НОД используется в различных алгоритмах и приложениях, таких как:

• Алгоритм Евклида для нахождения НОД

Решение линейных уравнений с целыми коэффициентами

• Криптография

Компьютерное программирование

НОК - наименьшее общее кратное (общий знаменатель)

Алгоритм:

1. Разложите числа на простые множители.
2. Выпишите множители через степени.
3. Нужно взять каждого числа по одному, но в наибольшей степени. Обведите кандидатов, а выбывшие числа лучше вычеркнуть.
4. Перемножьте обведенные числа
5. Готово!

Зачем нужен НОК?

Практическое назначение НОК - определение наименьшего общего знаменателя. Школьники очень любят при поиске общего знаменателя, просто перемножать имеющиеся знаменатели. Почти всегда это действие избыточно, слишком большие вычисления приводят к ошибкам. Этот цикл бессмысленных действий можно прервать, просто найдя НАИМЕНЬШИЙ общий знаменатель. Нахождение НОК позволяет упростить математические выражения, решить уравнения и выполнять различные математические операции более эффективно.

Спасибо за внимание! Подписывайтесь!