Шизофренические числа, или ши-числа, как их называют в дальнейшем, представляют собой числа, квадратный корень из которых имеет сходство с рациональным числом, но на самом деле не является им. Эти числа характеризуются наличием регулярных паттернов как в самих значениях, так и в корнях из них.
Шизофренические числа могут быть определены рекурсивно с помощью следующего соотношения: s(n) = 10 s(n-1) + n, где s(0) = 0. Это рекурсивное соотношение может быть выражено с помощью многочлена: s(n) = (10^(n+1) - 9n - 10)/81. Последовательность шизофренических чисел начинается с 0, 1, 12, 123 и так далее, приближаясь к бесконечности, образуя последовательность 12345679012345679012...
Следовательность целых частей квадратных корней из ши-чисел имеет свой собственный паттерн: 1, 3, 11, 35, 111, 351 и так далее. В обеих последовательностях можно заметить регулярные паттерны, что делает их уникальными. Первая последовательность характеризуется увеличением ши-чисел за счет повторения одного и того же шаблона, а вторая чередует четные и нечетные значения корней из ши-чисел, также с повторяющимися паттернами.
Самая удивительная особенность ши-чисел заключается в паттернах в значениях корней. Например, квадратный корень из 49 будет иметь паттерн, начинающийся с последовательности цифр 1, 5, 6, 2, 4, 9 и т. д. Повторяющиеся строки укорачиваются и исчезают, делая последовательность непредсказуемой. Однако увеличивая n, можно замедлить исчезновение паттернов.
Кроме того, если изменить систему счисления, то повторяющиеся паттерны в значениях корней останутся. Например, в восьмеричной системе цифры будут повторяться в другой последовательности, а в троичной будут иметь свои уникальные паттерны. Эти особенности ши-чисел подробно рассматриваются в статье Tota (2020).
Таким образом, шизофренические числа представляют собой уникальный класс чисел, обладающих особыми свойствами и паттернами как в самих числах, так и в значениях их корней. Исследование этих чисел и их свойств продолжает привлекать внимание математиков и ученых, углубляя понимание их природы и особенностей.