Ромб — это четырехугольник, все стороны которого равны. Площадь ромба можно вычислить различными способами, но одним из самых распространённых и удобных методов является использование диагоналей. В данной статье мы рассмотрим теорему о площади ромба через его диагонали, приведём доказательство этой теоремы и решим несколько задач для закрепления материала.
Теорема (площадь ромба через его диагонали)
Теорема: Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
Пусть d1 и d2 — диагонали ромба. Тогда площадь S ромба можно найти по формуле: S=1/2×d1⋅d2
Доказательство
Для доказательства теоремы воспользуемся свойством диагоналей ромба. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам.
- Пусть ABCD — ромб с диагоналями AC и BD, которые пересекаются в точке O.
- Диагонали AC и BD делят ромб на четыре прямоугольных треугольника: △AOB, △BOC, △COD и △DOA.
- Площадь каждого из этих треугольников можно выразить через половину произведения катетов.
Пусть длины диагоналей AC=d1 и BD=d2. Тогда длины отрезков AO, BO, CO и DO будут равны d1/2 и d2/2.
4. Площадь треугольника △AOB можно найти по формуле площади прямоугольного треугольника: S△AOB=1/2×AO×BO=1/2×d1/2×d2/2=1/8×d1×d2
Так как все четыре треугольника △AOB, △BOC, △COD и △DOA равны, общая площадь ромба S будет равна сумме площадей этих треугольников: S=4×S△AOB=4×1/8×d1×d2=1/2×d1×d2
Что и требовалось доказать.
Задачи
Задача 1
Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 10 см и 24 см.
Решение:
Используем формулу для нахождения площади ромба: S=1/2×d1⋅d2=1/2×10×24=1/2×240=120 см²
Ответ: 120 см².
Задача 2
Найдите площадь ромба с углом 30∘ и периметром, равным 40 см.
Решение:
- По определению ромба, все его стороны равны, тогда каждая сторона равна: a=40/4=10 см
- Воспользуемся формулой площади ромба через сторону и угол: S=a²sinα=10²sin30∘=100×0.5=50 см²
Ответ: 50 см².
Задача 3
По данным чертежа найдите площадь ромба. Диагональ ромба равна 12 см, а вторая диагональ на 8 см короче первой.
Решение:
- Обозначим длину одной диагонали d1=12 см.
- Тогда длина второй диагонали будет d2=d1−8=12−8=4 см.
- Используем формулу для нахождения площади ромба: S=1/2×d1⋅d2=1/2×12×4=1/2×48=24 см²
Ответ: 24 см².
Задача 4
Найдите площадь ромба, если одна из его диагоналей равна 16 см, а его сторона равна 10 см.
Решение:
- Обозначим длину одной диагонали d1=16 см и сторону a=10 см.
- Диагонали ромба делят его на четыре прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из таких треугольников.
- Половина диагонали d1 равна: d1/2=16/2=8 см
- Используя теорему Пифагора для нахождения половины второй диагонали d2:
a²=(d1/2)²+(d2/2)²
10²=8²+(d2/2)²
100=64+(d2/2)²
(d2/2)²=100−64
(d2/2)²=36
d2/2=6 см
d2=12 см
5. Найдём площадь ромба: S=1/2×d1×d2=1/2×16×12=1/2×192=96 см²
Ответ: 96 см².
Задача 5
Найдите площадь ромба, если его высота равна 8 см, а одна из его сторон — 10 см.
Решение:
- Обозначим сторону ромба как a=10 см и высоту как h=8 см.
- Площадь ромба можно найти как произведение стороны и высоты: S=a⋅h=10×8=80 см²
Ответ: 80 см².
Заключение
Теперь мы знаем, как вычислить площадь ромба с использованием различных методов и формул. Независимо от того, какой способ вы выберете, главное — внимательно следовать алгоритму и правильно использовать исходные данные. Решение задач по геометрии помогает развивать логическое мышление и укрепляет математические навыки, что полезно не только в школе, но и в повседневной жизни.